N-канальная СМО с неограниченной очередью

ПРИМЕРЫ.

Кассы, обслуживающие покупателей; переговорная станция.

ЗАДАЧА. Построить модель n-канальной СМО с очередью.

ПРЕДПОЛОЖЕНИЯ. Очередь не ограничена по времени ожидания и по длине.

ДАНО.

n – число каналов

λ – интенсивность потока заявок

μ – интенсивность потока обслуживания.

НАЙТИ.

Р_i– финальные вероятности системы.

L_сист – среднее число заявок в системе

W_сист – среднее время пребывания заявки в системе

L_оч – среднее число заявок в очереди

W_оч – среднее время пребывания заявки в очереди.

P_зан – вероятность того, что канал занят.

РЕШЕНИЕ.

S₀ – каналы свободны;

S₁ – 1 канал занят, остальные свободны (в системе одна заявка);

S₂ – 2 канала занято, остальные свободны;

…

S_k – k каналов занято, остальные свободны;

…

S_n – все каналы заняты, очереди нет;

S_n+1 – все каналы заняты, одна заявка в очереди;

S_n+2 – все каналы заняты, две заявки в очереди;

…

S_n+r – все каналы заняты, r заявок стоит в очереди;

…

Построим граф состояний:

λ λ λ λ λ λ λ λ

μ 2μ 3μ nμ nμ nμ nμ nμ

Обозначим ρ = λ/μ

p₀=(1+ ρ + ρ ²/2+ ρ ³/3!…+ ρ ⁿ/n!+ ρ ⁿ⁺¹/(n!(n- ρ)))^-1 при ρ /n<1

При ρ/n ≥1 ряд расходится, т.е. предельные вероятности не существуют. Это говорит о том, что очередь неограниченно растёт, т.е. система перегружена.

P₁= ρ P₀

P₂=P₀ ρ ²/2!

…

P_n=P₀ ρ ⁿ/n!

,

k= λ/μ – среднее число занятых каналов для любой СМО с неограниченной очередью.

Среднее число заявок в очереди = математическому ожиданию числа заявок в очереди:

L_оч=(1* P_n+1+2* P _n+2+…+r* P_n+r+…

Среднее число заявок под обслуживанием L_обс = k = ρ

Среднее число заявок в системе L_cис= L_оч +L_обс

Дата добавления: 2014-01-20