Точные оценки параметров распределения

Изучение совокупности (каких-либо однородных объектов) может проводиться относительно некоторого качественного или количественного признака, характеризующего эти объекты.

Например, если имеется партия деталей, то качественным признаком может служить «стандартность» деталей, а количественным- какой-либо контролирующий ее размер.

Остановимся на количественном признаке генеральной совокупности. Допустим, что из теоретических соображений известно, какое именно распределение имеет этот признак (равномерное, нормальное и т.д.). В связи с этим возникает задача оценки параметров, которыми определяется это распределение. Например, если известно, что изучаемый признак распределен нормально, то необходимо оценить и (математическое ожидание и СКВО).

Статической оценкой неизвестного параметра (или признака) теоретического распределения называется некоторая функция от наблюдаемых случайных величин.

Для того, чтобы статические оценки давали «хорошие» приближения оцениваемых параметров, они должны удовлетворять определенным свойствам.

1. Свойство состояния.

Обозначим за - исследуемый параметр, а за его оценку.

Тогда любая статическая оценка должна обладать следующими свойствами: для .

Т.е. какова бы не была точность с ростом объема выборки , вероятность того, что оценка не отклонится от заданного значения .

2. Свойство смещенности.

Оценка называется несмещенной, если и .

Оценка называется асимптотически несмещенной, если

3. Свойство эффективности.

Пусть для параметра найдены две оценки и тогда более эффективной считается та оценка, для которой меньше дисперсия, т.е. эффективнее , если . Это очевидно, т.к. дисперсия означает рассеянность (разброс) возможных значений оценки вокруг своего среднего значения. Поэтому если дисперсия велика, то оценка может оказаться весьма удаленной от своего среднего значения , а значит и от самого оцениваемого параметра .

Прокомментируем перечисленные свойства состояния.

Пусть имеется некоторая оценка СВ со своей плотность распределения .

Состоятельность оценки означает, что с ростом объема выборки плотность распределения будет меняться.

Вершина совпадает со значением оцениваемого параметра . Если объем выборки небольшой, то фигура под широкая. При увеличении площадь сохраняется, но кривая стягивается к точному значению оцениваемого параметра .

Смещенность оценки определяется равенством . Асимптотическая несмещенность означает, что будет не только сжиматься, но и смещаться к .

Если рассмотреть график двух оценок некоторого параметра , то оценка будет эффективнее оценки , т.к. ей требуется меньший объем выборки для получения той же точности.

Дата добавления: 2014-01-20