Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Численная реализация метода установления для уравнения Пуассона. Устойчивость и скорость сходимости

Рассмотрим особенности численного решения эллиптического уравнения на примере уравнения Пуассона. Для удобства ограничимся двумерной задачей Дирихле в квадратной области

где S – длина дуги, отсчитываемая вдоль границы , и - заданные функции.Введем квадратную сетку целое число. Запишем конечно-разностный аналог уравнения (1), заменяя вторые производные стандартной трёхточечной аппроксимацией:Схема (2) есть СЛАУ относительно Решить систему (2) каким либо общим методом численной линейной алгебры (метод Гаусса) невыгодно, т.к. такой метод не учитывает сильную разреженность матрицы системы (2) (действительно, из общего числа неизвестных только 5 содержаться в каждом из уравнений (2)) и поэтому оказывается чересчур медленным. Вместо этого используются специальные методы: прямые или итерационные. Итерационные методы менее быстрые, чем прямые, но за то более универсальны, т.к. не зависят от геометрии расчетной области и легче программируются.В данном случае рассматривается итерационный подход, эквивалентный расчету на установление развивающегося во времени процесса. Рассмотрим вспомогательную нестационарную залачу:

где и - те же самые, что и в (1), а - произвольно. Решение задачи (3) при стремится к равновесному распределению , опнсываемому задачей (1), В соответствии с этим вместо (1) будем решать (3), а вместо равновесной схемы введем схему:

Вычисление по уже известным в данной схеме (4) не составляет труда. Можно показать, что наибольшая сходимость достигается в случая:Схема (4) с выбором оптимального “временного шага” согласно (5) называется схемой Якоби и является простейшей из итерационных схем.Для квадратной области число итераций, необходимых для достижения заданной точности при равно:Сходимость итераций по схеме (4)-(5)имеет место и в случае расчетной области произвольной сложной формы. Схема (4) выдерживает обобщение на случай задачи Дирихле с переменными коэффициентами.

15. Волновое ур-е. Начал и краевые усл-я для волнового ур-я. Волновое уравнение можно записать в таком виде:∆φ-1/a22φ/∂t2=f(M,t), a определяет скорость распространения волны,или спользуя оператор Даламбера:□φ=f(M,t), □ – даламбериан

Волн ур-е имеет ∞ мн-во решений. Заданием краев и начал усл выделяется конкретное реш-е. Краевые усл-я для волн ур-я ставятся также как и для ур-я Лапласа. Начал усл заключаются в задании распределения ф-ции и ее перв производной и имеют вид: / φ(M,0)=f1(M) ∂φ/∂t (M,0)=f2(M)Совок волн ур-я, краевых и начал усл отражает начально-краевую задачу для волн ур-я.

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Метод установления для уравнения эллиптического типа. Единственность решения | Одномерные волны. Формула Даламбера
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-20; Просмотров: 711; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.012 сек.