Свойства бесконечно малых функций

1. Алгебраическая сумма конечного числа БМФ есть БМФ при .

2. Произведение БМФ на ограниченную в некоторой окрестности точки функцию (в т.ч. на постоянную, на другую БМ) есть БМФ.

3. Частное от деления БМФ на функцию, предел которой отличен от нуля, есть БМФ.

Замечание. Свойство 3 не рассматривает предел отношения двух БМФ из-за его неопределенности: он может быть равен как конечному числу, так и .

Докажем, например, свойство 1.

Пусть и есть БМФ. Докажем, что функция также есть БМФ.

По условию для любого , а значит, и для найдутся такие числа и , что :

если , то

(1)

если , то

(2)

Если в качестве взять минимальное из и , т.е. , то для всех х, удовлетворяющих условию будут верны оба неравенства (1) и (2). Складывая их почленно, получим:

.

Используя первое неравенство треугольника, перейдем к более сильному неравенству:

.

Итак, мы нашли , такое, что при всех выполняется неравенство . Это и означает, что функция есть БМФ. ▲

Свойства бесконечно больших функций.

1. Произведение ББФ на функцию, предел которой отличен от 0, есть ББФ.

2. Сумма ББФ и ограниченной функции есть ББФ.

3. Сумма ББФ одного знака есть ББФ того же знака.

4. Частное от деления ББФ на функцию, имеющую конечный предел, есть ББФ.

Сравнение бесконечно малых функций.

Пусть и - БМФ. Предположим, что существует предел их отношения, равный некоторому значению А (собств. или несобств.), т.е.

. Тогда если:

1) А – число, не равное 0 или 1, то функции и называются БМ одинакового порядка.

2) А=0, то функция называется БМ более высокого порядка малости, чем и обозначают: (о малое).

Пример:

, - БМ при х→0,

3) А=, то функция называется БМ более высокого порядка малости, чем .

4) А =1, то функции и называются эквивалентными БМ, обозначается: ~.

Дата добавления: 2014-01-20