Условная вероятность

Зависимые и независимые события.

ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Достоверные события.

Практически невозможные и практически

Рассматривая случайное единичное событие А, имеющее вероятность Р(А), мы не можем, вообще говоря, высказать никаких суждений относительно того, наступит или не наступит это событие в данном опыте. Исключение составляют случаи, когда вероятность события А близка к единице или к нулю (Р(А)» 1 или Р(А)» 0).

В практических применениях теории вероятностей особую роль играют практически невозможные и практически достоверные события.

Практически невозможным событием называется событие, вероятность которого весьма близка к нулю, но не равно нулю.

Практически достоверным называется событие, вероятность которого весьма близка к единице, но не равна единице.

В повседневной жизни мы непрерывно пользуемся принципом практической уверенности. Выезжая, например, в путешествие по железной дороге, мы свое поведение организуем, не считаясь с возможностью железнодорожной катастрофы, хотя некоторая весьма малая вероятность такого события все же имеется. Вопрос о том, насколько мала должна быть вероятность события, чтобы его можно было считать практически невозможным, выходит за рамки математической теории и в каждом отдельном случае решается исходя из практических соображений в соответствии с той важностью, которую имеет для нас искомый результат опыта. Так, например, пусть вероятность Р(А) выхода из строя некоторого прибора равна 0,01. Если этот прибор находится в научной лаборатории (случае поломки может быть заменен другим), то возможностью выхода его из строя можно пренебречь и считать событие А практически невозможным. Иное дело в условиях космического полета, когда прибор заменить нельзя и выход его из строя повлечет за собой серьезные последствия. В таких условиях вероятностью 0,001 пренебречь нельзя, и мы не можем считать выход из строя прибора практически невозможным событием.

Теорема 1 (сложения). Вероятность события, состоящего в том, что осуществляется событие А или несовместное с ним событие В, равна сумме вероятностей этих событий:

Р(В или А) = Р(А+В) = Р(А È В) = Р(А) + Р(В).

Теорема 2. Сумма вероятностей двух противоположных событий равна единице.

Систему несовместных событий А₁, А₂, …, А_пназывают полной, если в испытании обязательно наступит одно и только одно из этих событий.

Теорема 3. Сумма вероятностей несовместных событий, образующих полную систему, равна единице.

Для рассмотрения последующих теорем необходимо ввести понятие зависимых и независимых событий.

Событие А называется независимым от события В, если вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет.

Несколько событий называются независимыми в совокупности, если каждое из них и любая комбинация остальных событий есть события независимые.

Несколько событий называются попарно независимыми, если любые два из этих событий независимы.

Например, если монета брошена 2 раза, вероятность появления герба в первом испытании (событие А) не зависит от появления или непоявления герба во втором испытании (событие В). В свою очередь вероятность выпадения герба во втором испытании не зависит от результата первого испытания. Такие события А и В будут независимыми.

Событие В называется зависимым от события А, если вероятность события В меняется в зависимости от того, произошло событие А или нет.

Вероятность события В, вычисленная при условии, что имело место событие А, называется условной вероятностью событие В и обозначается как Р_А(В) или Р(В/А).

Теорема 4. Вероятность сложного события, состоящего из совпадения двух независимых событий, равна произведению вероятностей этих событий:

Р(А × В) = Р(А) × Р(В).

Теорема 5. Вероятность сложного события, состоящего из совпадения двух зависимых между собой событий, равна произведению вероятности одного из событий на условную вероятность другого в предположении, что первое событие имело место:

Р(А × В) = Р(А) × Р(В/А).

Дата добавления: 2014-01-20