Этапы становления современной математики

Этапы становления современной математики

Введение

2. Проблемы оптимизации и интенсификации управленческой деятельностью органов внутренних дел с использованием математических методов

3. Аксиоматический метод

4. Сущность и содержание теории исследования операций. Системно-алгоритмический подход в исследовании операций

5. Числа и действия над числами

6. Уравнения и неравенства

7. Геометрические представления и отображения аналитических зависимостей средствами геометрии

8. Функции

9. Множества и подмножества

10. Операции над множествами

Заключение

Ясное понимание самостоятельного положения математики как особой науки, имеющей собственный предмет и метод, стало возможным только после накопления достаточно большого фактического материала и возникло впервые в Древней Греции в 6 - 5 вв. до н.э. Развитие математики до этого времени естественно отнести к периоду нарождения математики, а к 6 - 5 вв. до н.э. приурочить начало периода элементарной математики. В течение этих двух первых периодов математического исследования имеют дело почти исключительно с весьма ограниченным запасом основных понятий, возникающих еще на очень ранних ступенях исторического развития в связи с самыми простыми запросами хозяйственной жизни, сводившимися к счету предметов, измерению количества продуктов, площадей земельных участков, определению размеров отдельных частей архитектурных сооружений, измерению времени, коммерческим расчетом и т.п.

Первые шаги механики и физики (за исключением отдельных исследований греческого ученого Архимеда (3 в. До н.э.), требовавших уже начатков исчисления бесконечно малых) могли еще удовлетвориться этим же запасом основных математических понятий. Единственной наукой, которая задолго до широкого развития математического изучения явлений природы в 17 - 18 вв. систематически предъявляла математике свои особые и очень большие требования, была астрономия, целиком обусловившая, например, раннее развитие тригонометрии. Запас понятий, с которым имело дело математика до начала 17 в., составляет и до настоящего времени основу «элементарной математики», преподаваемой в начальной и средней школе.

Наибольшей напряженностью математического творчества отличается первый век Александрийской эпохи (3 в. до н.э.). Этому веку принадлежат Евклид, Архимед, Эратосфен и Аполлоний Пергский. Сложные гидротехнические сооружения (например, архимедов винт), требование военной техники (метательные машины Архимеда), запросы мореплавания (исследования Архимеда о равновесии и устойчивости плавающих тел) развитие геодезии и картографии (определение Эратосфеном размеров земного шара), а также разработка точных астрономических измерений и вычислений (Юлианское приближение к длине года, равное 365 1/4 дней), наконец развитие механики и оптики - все это поставило перед математикой множество новых задач. 3 в. до н.э. явился веком плодотворного соединения соответствующего этим требованиям стремительного развития математики вширь с глубиной теоретической мысли. В частности, возникший из прикладных нужд интерес к приближенному измерению величин и приближенным вычислениям не привел математиков 3 в. до н.э. к отказу от математической строгости. Все многочисленные приближенные извлечения корней и даже все астрономические вычисления производились ими с точным указанием границ погрешности, по типу знаменитого архимедова определения длины окружности в форме безукоризненно доказанных неравенств

,

где r - длина окружности с диаметром d. Это отчетливое понимание того, что приближенная математика не есть «нестрогая» математика, было позднее надолго забыто.

В своих «Началах» Эвклид собрал и подверг окончательной логической переработки достижения предыдущего периода в области геометрии. Вместе с тем в «Началах» же Эвклид впервые заложил основы систематической теории чисел, доказывая бесконечность ряда простых чисел и строя законченную теорию делимости. Наконец, «Начала» содержат во второй, шестой и десятой книгах своеобразную геометрическую замену алгебры, позволяющую в геометрической форме не только решать квадратные уравнения, но и производить сложные преобразования квадратичных иррациональных выражений.

В 17 в. Новые запросы естествознании и техники заставляют математиков сосредоточить свое внимание на создании методов, позволяющих математически изучать движение, процессы изменения величин, преобразования геометрических фигур (при проектировании и т.п.).

С употреблением переменных величин в аналитической геометрии французского ученого Р. Декарта и создания дифференциального и интегрального исчисления начинается период математики переменных величин, который можно условно назвать также периодом «высшей математики». Естественно впрочем, что не в этот ни следующий период не прекращалась дальнейшее развитие элементарной математики.

В начале 19 века происходит новое значительное расширение области приложения математического анализа. Если до этого времени основными отделами физики, требовавшими большого математического аппарата, оставалась механика и оптика, то теперь к ним присоединилась электродинамика, теория магнетизма и термодинамика. Получают широкое развитие важнейшие разделы механики непрерывных сред, из которых только гидродинамика несжимаемой идеальной жидкости была создана еще в 18 в. Д.Бернулли, Эйлером, Д’Аламбером и Лагранжем. Быстро растут и математические запросы техники. В начале 19 в. это вопросы термодинамики. В качестве основного аппарата новых областей механики и математической физики усилено разрабатывается теория дифференциальных уравнений с частными производными и особенно теория потенциала. В этом направлении работает большинство крупных аналитиков начала и середины века (немецкий математик К.Гаусс, французский математик Ж.Фурье, С.Пуассон, О.Коши, немецкий математик П.Дирихле, английский математик Д.Грин, русский математик М.В.Остроградский). М.В.Остроградский заложил основы вариационного исчисления для функций нескольких переменных, нашел знаменитую формулу преобразования тройных интегралов в двойные и ее n-мерное обобщение.

Несмотря на господствующее в естествознании начала 19 века механического убеждения в возможности описать все природные явления дифференциальными уравнениями, под давлением запросов практики получает значительное дальнейшее развитие теория вероятностей. Лаплас и Пуассон создают с этой целью новый мощный аналитический аппарат. В России применением теории вероятностей к приемочному контролю и статистики занимаются М.В.Остроградский и В.Я.Буняковский; П.Л.Чебышев дает строгое обоснование элементов теории вероятностей и доказывает свою знаменитую теорему, объединившую в одной общей формулировке известные ранее формы закона большого числа.

Дальнейшее расширение круга количественных отношений и пространственных форм, изучаемых математикой, привело к необходимости отнестись к процессу расширения предмета математических исследований сознательно, поставив перед собой задачу систематического изучения с достаточно общей точки зрения возможных типов количественных отношений и пространственных форм. Создание русским математиком Н.И.Лобачевским его «воображаемой геометрии», получившей в последствии вполне реальные применения, были первым значительным шагом в это направлении. XX в. принес новые методы математического исследования практических задач: теорию случайных процессов, теорию графов, функциональный анализ, оптимальное управление, линейное и нелинейное программирование.

Дата добавления: 2014-01-20