Аксиоматический метод. В основе построения математической теории лежит аксиоматический метод

В основе построения математической теории лежит аксиоматический метод. В основу научной теории кладутся некоторые исходные положения, называемые аксиомами, а все остальные положения теории получаются, как логические следствия аксиом. Большинство направлений современной математики, теоретическая механика и ряд разделов современной физики строятся на основе аксиоматического метода. В самой математике аксиоматический метод дает законченное, логически стройное построение научной теории. Не меньшее значение имеет и то, что математическая теория, построенная аксиоматически, находит многократные приложения в математике и естествознании.

Аксиома – утверждение, принимаемое без доказательств.

Теорема – утверждение, вытекающее из аксиом.

Доказательство – составная часть дедуктивной системы, это есть рассуждение, которое показывает, что истинность утверждения вытекает логически из истинности предыдущих теорем или аксиом.

Образцом аксиоматического построения математической науки является элементарная геометрия. Система аксиом геометрии были изложены Евклидом (около 300 г. до н. э.) в непревзойденном по своей значимости труде – «Начала». Эта система в основных чертах сохранилась и по сей день. Пример: Основные понятия: точка, прямая, плоскость – основные образы; лежать между, принадлежать, движение – основные отношения.

Развив ту или иную аксиоматическую теория, мы можем, не приводя повторных рассуждений, утверждать, что ее выводы имеют место в каждом случае, когда справедливы рассматриваемые аксиомы. Таким образом, аксиоматический метод позволяет целые аксиоматические развитые теории применять в различных областях знаний.. В этом состоит сила аксиоматического метода.

Современная точка зрения на аксиоматическое построение какой-либо области заключается в следующем: во-первых, перечисляются первоначальные (неопределяемые понятия); во-вторых, указывается список аксиом, в которых устанавливаются некоторые связи и взаимоотношения между первоначальными понятиями; в-третьих с помощью определений вводятся дальнейшие понятия и, в-четвертых, исходя из первоначальных факторов, содержащихся в аксиомах, выводятся, доказываются с помощью некоторой логической системы дальнейшие факты - теоремы. Первоначальные понятия и аксиомы заимствованы из опыта. Поэтому очевидно, что все последующие факты, выводимые в аксиоматической теории, хотя их получают на основе систем аксиом чисто умозрительным, дедуктивным путем, имеет тесную связь с жизнью и могут быть применены в практической деятельности человека.

Важнейшим требованием к системе аксиом является ее непротиворечивость, которую можно понимать так: сколько бы мы ни выводили теорем из этих аксиом, среди них не будет двух теорем, противоречащих друг другу. Противоречивая аксиома не может служить основой построения содержательной теории.

Путь рассматриваются две теории P и Q, причем теория P задается аксиоматически (и в ее противоречивости мы заранее не уверены),а Q - это хорошо известная нам теория, в непротиворечивости которой мы не сомневаемся. Если из «материала» теории Q удается построить модель, в которой выполняются все аксиомы теории P, то этим непротиворечивость теории P будем считать установленной.

Именно с помощью построения моделей в современной математике установлена непротиворечивость геометрии - в предположении непротиворечивости теории действительных чисел. Далее, установлена непротиворечивость теории действительных чисел - в предположении непротиворечивости теории рациональных чисел; наконец, установлена непротиворечивость теории рациональных чисел - в предположении непротиворечивости теории натуральных чисел.

Дата добавления: 2014-01-20