Объединение множеств

ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ

Понятие подмножества

Множество Х является подмножеством Y, если любой элемент множества Х принадлежит и множеству Y. Пусть Y - множество курсантов группы, а Х - множество отличников той же группы. Так как каждый отличник группы является в то же время курсантом этой группы, то множество Х является подмножеством множества Y.

Многие определения теории множеств удобно давать в виде математических выражений, содержащих некоторые логические символы. Для определения подмножества используем два таких символа.

" - символ, называемый квантор и означающий любой, каков бы ни был, «для всех»;

® - символ следствия (импликации), означающий «влечет за собой».

Пример

" x [ x ÎX ® x Î Y ]

Это соответствует следующему определению подмножества: для любого х утверждение «х принадлежит Х» влечет за собой утверждение «х принадлежит Y»

Более краткой записью выражения «X является подмножеством Y» будет запись

X Í Y

Это читается как «Y содержит Х». Символ Í означает включение. Если же Y содержит и другие элементы, кроме элементов из Х, то используется символ строгого включения Ì

X Ì Y

Свойства подмножеств

X Í X (рефлексивность);

[X Í Y и Y Í Z ] ® X Í Z (транзитивность)

Несколько труднее видеть, что для любого множества М

Æ Í М

Действительно, пустое множество Æ не содержит элементов. Следовательно, добавляя к М пустое множество, мы фактически ничего не добавляем. Поэтому всегда можно считать, что любое множество М содержит в себе пустое множество в качестве подмножества.

Над множествами можно производит действия, которые в многом напоминают действия сложения и умножения в элементарной алгебре.

Пусть a и b - некоторые числа, a + b - их сумма и ab - их произведение. Сумма и произведение чисел обладают следующими свойствами, называемыми законами алгебры:

1. a + b = b + a; ab = ba - коммутативный или переместительный закон;

2. (a + b) + c = a + (b + c); (ab)c = a(bc) - ассоциативный или сочетательный закон;

3. (a + b)c = ac + bc - дистрибутивный или распределительный закон.

Объединением множеств X и Y называют множества, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств X, Y, т.е. принадлежат множеству Х или множеству Y. Объединение Х и Y обозначается через . Формальное определение

Объединение множеств иногда называют суммой множеств и обозначают X + Y. Однако свойства объединения множеств несколько отличаются от свойств суммы при обычном арифметическом понимании, поэтому этим термином мы пользоваться не будем.

Для объединения множеств справедливы коммутативный и ассоциативный законы

справедливость которых вытекает из того, что левая и правая части равенств вытекает из того, что левая и правая часть равенства состоит из одних и тех же элементов.

Это также очевидное соотношение, т.к. пустое множество не содержит элементов, а значит, состоят из одних и тех же элементов. Пустое множество Æ играет роль нуля в алгебре множеств. Здесь имеет место аналогия с выражением а + 0 = а в обычной алгебре.

Дата добавления: 2014-01-20