Знакоопределенность квадратичной формы

Решение

Пример

Составить матрицу квадратичной формы

.

Коэффициенты при квадратах переменных последовательно выписываем по главной диагонали матрицы. Коэффициенты при смешанных произведениях делим пополам и выписываем на соответствующих местах, симметричных относительно главной диагонали:

.

Очевидно, всегда

Определение 2. Будем говорить, что квадратичная форма положительна (отрицательна), если

Определение 3. Будем говорить, что квадратичная форма неотрицательна (неположительна), если

Определение 4. Будем говорить, что квадратичная форма квазиположительна (квазиотрицательна), если она неотрицательна (неположительна), но не является положительной (отрицательной).

Иными словами, квадратичная форма квазиположительна (квазиотрицательна), если и .

Определение 5. Будем говорить, что квадратичная форма нулевая, если .

Очевидно, у нулевой квадратичной формы все коэффициенты равны нулю.

Нулевая квадратичная форма является частным случаем неотрицательной, неположительной, квазиположительной и квазиотрицательной форм.

Определение 6. Будем говорить, что квадратичная форма знакопеременна, если она принимает на как положительные, так и отрицательные значения, т.е. .

Иногда употребляется терминология с использованием слова "определена": положительно определена и т. д. и "полуопределена" (вместо "квазиопределена").

Для матриц квадратичной формы используется следующая терминология:

· положительно (отрицательно) определена – для положительной (отрицательной) квадратичной формы;

· положительно (отрицательно) квазиопределена – для квазиположительной (квазиотрицательной) квадратичной формы;

· неопределена – для знакопеременной квадратичной формы.

Классификация видов знакоопределенности квадратичных форм показано на рис.2

Рис. 2.

Дата добавления: 2014-01-20