Знакоопределенность квадратичных форм с линейными условиями связи

Детерминантный критерий знакоопределенности квадратичной формы с линейными условиями связи

При исследовании целевой функции на условный экстремум рассматривалась знакоопределенность матрицы Гессе при линейных условиях связи на дифференциалы переменных , что приводило к окаймленной матрице Гессе. Факт такого сведения – алгебраический. Он основан на изучении знакоопределенности квадратичных форм при линейных условиях связи на переменные. Рассмотрим этот вопрос подробнее.

Если на аргументы квадратичной формы наложить условия связи, то область ее определения сузится, она уже не будет совпадать с . Поэтому и множество ее значений, вообще говоря, тоже может сузиться. Как это отразится на знакоопределенности квадратичной формы?

Если исходная квадратичная форма положительна или отрицательна, то, очевидно, после наложения условий связи на переменные она таковой и останется.

Если исходная квадратичная форма квазиположительна или квазиотрицательна, то после наложения условий связи на переменные она может остаться таковой или станет положительной (соответственно отрицательной).

Если же исходная квадратичная форма была знакопеременной, то после наложения условий связи на переменные она может стать какой угодно: остаться знакопеременной, стать квазиположительной, квазиотрицательной, положительной, отрицательной или даже нулевой.

Введем некоторые обозначения и определения.

Пусть ;

А – симметричная квадратная матрица размера ;

- квадратичная форма от n переменных;

B - матрица размера , причем , где ;

- квадратичная форма, заданная на линейном подпространстве ;

- окаймленная матрица квадратичной формы при условии связи ;

- угловой минор порядка k матрицы S, т.е. минор расположенный на пересечении k первых строк и k первых столбцов матрицы S;

- главный минор порядка k матрицы S, расположенный на пересечении строк и столбцов матрицы S с номерами .

Определение 1. Будем говорить, что квадратичная форма положительна (отрицательна), если

Определение 2. Будем говорить, что квадратичная форма неотрицательна (неположительна), если

Определение 3. Будем говорить, что квадратичная форма квазиположительна (квазиотрицательна), если она неотрицательна (неположительна), но не является положительной (отрицательной).

Определение 4. Будем говорить, что квадратичная форма знакопеременна (не определена), если она принимает на как положительные, так и отрицательные значения.

Дата добавления: 2014-01-20