Правила дифференцирования функций

Лекция № 10, ВАС-11, 1 сем, 2012

Старший преподаватель к.т.н.

кафедры «Экологии» Абсеитов Е.Т.

Тема. Производная суммы, произведения, частного от деления двух функций. Сложная функция и ее производная.

Сформулируем в виде теорем правила вычисления производных, применяемые при решении теоретических и практических задач.

Теорема 1.1. Свойство аддитивности. Производная суммы (разности) функций равна сумме (разности) производных этих функций:

если то (1.1)

Доказательство. Дадим приращение независимой переменной и найдем соответствующее приращение :

.

Определим искомую производную функции :

.

Теорема 1.2. Производная произведения двух функций равна сумме произведений первой функции на вторую и первой на производную второй:

если то (1.2)

Доказательство. Дадим переменной приращение и найдем соответствующее приращение :

.

Найдем производную функции :

Теорема 1.3. Свойство однородности. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

если , то (1.3)

Доказательство. Воспользуемся формулой (1.2):

.

Теорема 1.4. Производная частного от деления двух функций равна дроби, числитель которой равен разности произведений первой функции на вторую и первой на производную второй, а знаменатель равен квадрату делителя:

если , то . (1.4)

Доказательство. Найдем приращение функции , соответствующее приращению аргумента :

Вычислим производную функции

Проиллюстрируем применение формул и правил дифференцирования к вычислению производных функций.

Задача 1.1. Найти производную функции:

. (1.5)

Решение. Приведем все члены функции (1.5) к виду, позволяющему применение формул дифференцирования, и применим теоремы 1.1 и 1.3:

Задача 1.2. Продифференцировать функцию:

(1.6)

Решение. Воспользуемся теремами 1.1 и 1.4.

Задача 1.3. Найти производную функции:

(1.7)

Решение. При решении данной задачи применим теорему 1.3.

Дата добавления: 2014-01-20