Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Обслуживание вызовов системой с ожиданием




Пусть задана коммутационная система, в выходы которой включен полнодоступный пучок емкостью v (v < 1), обслуживающий простейший поток вызовов. Если в момент поступления вызова все v линий заняты, то для системы с ожиданием вызов теряется лишь на время, но само сообщение не теряется, а становится в очередь на ожидание до освобождения занятых другими вызовами линий пучка. Поступающие на ожидание вызовы могут образовать очередь различной длины r, при этом число мест для ожидания неограничено. Дисциплина с ожиданием заключается в том, что при наличии свободных линий поступающий вызов немедленно обслуживается. Если все v линий заняты, то вызов ставится в очередь на ожидание до освобождения другими вызовами хотя бы одной линии пучка. Вызовы, находящиеся на ожидании, обслуживаются в порядке очереди.

Длительность занятия линий обслуживанием вызова tз является случайной величиной, распределенной по показательному закону

F (t) = P ( < t) = 1-e- βt , (6.29)

где β - параметр показательного закона распределения, обратный средней длительности занятия .

Требуется определить вероятности различных состояний полнодоступного пучка линий и длины очереди вызовов, находящихся на ожидании, функцию распределения длительности ожидания вызовом начала обслуживания, среднее время ожидания и среднюю длину очереди.

Состояние системы в произвольный момент времени t обозначим через i (число вызовов, находящихся в системе). Если в момент t в системе находятся i < v вызовов, то все они находятся на обслуживании. При i = v + r на обслуживании находятся v вызовов (заняты все v линий пучка), а остальные r = i - v вызовов находятся на ожидании.

Вероятности состояний полнодоступного пучка можно записать в следующем виде:


(6.30)

 

Формула (6.29) описывает распределение Эрланга для системы с ожиданием. При ограничении числа состояний системы 0iv, т.е. при переходе к системе с потерями, вероятности состояний pi рассчитываются по первой формуле Эрланга, т.е.


(6.31)

Сопоставим значения вероятности состояний pi в системе с ожиданием и вероятности числитель и знаменатель соотношения (6.31) на Ei,y (Y). Тогда это соотношение преобразуется к виду состояний в системе с потерями. С этой целью разделим числитель и знаменатель соотношения (6.30) на Тогда это соотношение

преобразуется к виду


(6.32)

 

Поскольку в (6.32) знаменатель больше 1, то рi < Ei,v (Y) для всех значений i (0 ≤ iv). Следовательно, для систем с ожиданием время нахождения в состояниях, когда поступающие вызовы немедленно обслуживаются, меньше, чем для систем с потерями.

В системах с ожиданием потери по времени рt есть доля времени, в течение которой все v линий пучка заняты и на ожидании находится r = 1, 2,... вызовов. Исходя из этого потери по времени равны вероятности р (γ > 0) того, что поступивший вызов не будет немедленно обслужен, а будет ожидать начала обслуживания в течение времени γ > 0. Эта вероятность равна

(6.33)

 

 

Однако при расчетах используют выражение

(6.34)

Выражение (6.34) называется второй формулой Эрланга. Формула табулирована. Таблицы позволяют по двум из трех параметров - Y, v, pt – определить третий. Из (6.34) видно, что Dv (Y) > Ev (Y), т.е. при одинаковых значениях интенсивности нагрузки и числе линий вероятность ожидания в системе с ожиданием выше, чем вероятность потери вызова в системе с явными потерями. Это объясняется тем, что в системе с явными потерями поступивший в момент занятости всех линий вызов теряется и никакого воздействия на систему в последующем не оказывает, а в системе с ожиданием вызовов ставится на ожидание.

При освобождении линии в системе с явными потерями она предоставляется поступающему вызову, а в системе с ожиданием при наличии очереди - ожидающему. Вновь поступившему вызову приходится становиться в очередь. Так как вызов не теряется, а лишь задерживается при обслуживании, то вероятность ожидания (6.34) называют условными потерями.

Условные потери во времени рt = р (γ > 0) могут быть также определены и с помощью таблиц первой формулы Эрланга. Используя эти таблицы, рt можно определить из следующего соотношения:


(6.35)

Как в системах с ожиданием, так и в системах с потерями при обслуживании полнодоступным пучком вызовов простейшего потока вероятность потерь по времени и вероятности состояний системы зависят только от интенсивности поступающей нагрузки Y и емкости пучка линий v.

Полученная характеристика рt = р (γ>0)= Dv (Y) определяет долю вызовов, обслуживание которых происходит после некоторого времени ожидания, однако не дает ответа на важный, с точки зрения обеспечения качества обслуживания, вопрос - как распределяется время ожидания начала обслуживания для вызовов, которые попадают на ожидание. В связи с этим определим функцию распределения длительности ожидания начала обслуживания при условии, что вызовы обслуживаются в порядке очереди.

Обозначим через р (γ > t) вероятность того, что вызов, поступивший в произвольный момент времени, попадет на ожидание и время ожидания будет больше t; через pi (γ > t) - условную вероятность того же неравенства, но в предположении, что вызов поступит в момент времени, когда система находится в состоянии i. Вероятность рi - это вероятность того, что в системе имеется i обслуживаемых и ожидающих вызовов.

Учитывая, что в коммутационной системе поступивший вызов попадает на ожидание лишь в случае, когда заняты все линии пучка и на ожидании находится r = 0, 1, 2,... вызовов (т.е. система находится в состоянии i = v, v +l, v +2,...,), то по формуле полной вероятности

. (6.36)

Если система находится в состоянии i (i > v), то непосредственно перед моментом поступления вызова в системе на ожидании находится (i - v) вызовов. Поступивший вызов становится в очередь и является в очереди (i - v +l) - M.

Поскольку вызовы снимаются с очереди для обслуживания в порядке поступления (первым пришел - первым обслуживается), то вероятность pi(γ>t)

есть вероятность того, что за время t после момента поступления вызова будет снято с ожидания и переведено на обслуживание не более (i - 1) вызовов. Исходя из этого вероятность p i (γ >t) соответствует вероятности того, что за время t произойдет освобождение не более (i - v) вызовов.

Если за единицу измерения времени γ и t принять среднюю длительность занятия, то вероятность p i (γ > t) можно рассчитать по формуле

. (6.37)

 

К характеристикам процесса обслуживания поступающего потока вызовов в системах с ожиданием, кроме р (γ > 0) и р (γ > t), относятся:

  • среднее время ожидания начала обслуживания γ, отнесенное ко всем поступающим вызовам;
  • среднее время ожидания начала обслуживания γз, отнесенное к вызовам, попадающим на ожидание (задержанным с обслуживанием);
  • средняя длина очереди r.

Эти величины можно найти из следующих выражений:

(6.38)


; (6.39)

или в единицах средней длительности занятия


(6.40)


Из (6.40) следует, что средняя длина очереди определяется как среднее время ожидания начала обслуживания вызова, отнесенное ко всем поступающим вызовам, умноженное на интенсивность поступающей нагрузки.

 

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-20; Просмотров: 1091; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.017 сек.