Формула полной вероятности. Формулы умножения вероятностей

Формулы умножения вероятностей.

P (АВ) = Р (А) Р_А (В)

Эта формула называется формулой умножения вероятностей.

Пример..Из урны, содержащей 7 белых и 3 черных шаров, наудачу один за другим извлекают (без возвращения) два шара. Какова вероятность того, что первый шар будет белым, а второй черным?

Пусть X — событие, состоящее в извлечении первым белого шара, а Y — событие, состоящее в извлечении вторым черного шара. Тогда XY - событие, заключающееся в том, что первый шар будет белым, а второй — черным. P_Х (Y) =3/9 =1/3 — условная вероятность извлечения вторым черного шара, если первым был извлечен белый. Учитывая, что P (X) = 7/10, по формуле умножения вероятностей получаем: P (XY) = 7/30

Событие А называется независимым от события В (иначе: события А и В называются независимыми), если Р_В (А)= Р (А). За определение независимых событий можно принять следствие последней формулы и формулы умножения

P (АВ) = Р (А) Р (B).

Вероятность события А, которое может наступить только с каждым из событий H ₁, H ₂,..., H_n , образующих полную систему, если известны их вероятности Р(H ₁), Р(H ₂),… Р(H_n) и условные вероятности события А относительно каждого из них, т.е.

Р _{H 1}(А), Р _H2 (А),…, Р _Hn (А), вычисляется по формуле полной вероятности:

P (A) = Р _{H 1}(А) P (H ₁) + Р _H2 (А) P (H ₂) +...+Р _Hn (А) P (H_n) .

Пример. В магазине продаются электролампы производства трех заводов, причем доля первого завода - 30, второго - 50, третьего - 20. Брак в их продукции составляет соответственно 5, 3 и 2. Какова вероятность того, что случайно выбранная в магазине лампа оказалась бракованной.

Пусть событие H ₁ состоит в том, что выбранная лампа произведена на первом заводе, H ₂ на втором, H ₃ - на третьем заводе. Очевидно:

P (H ₁) = 3/10, P (H ₂) = 5/10, P (H ₃) = 2/10.

Пусть событие А состоит в том, что выбранная лампа оказалась бракованной; A/H_i означает событие, состоящее в том, что выбранная бракованная лампа из ламп, произведенных на i -ом заводе. Из условия задачи следует:

P (A/H ₁) = 5/100; P (A/H ₂) = 3/100; P (A/H ₃) = 2/100

По формуле полной вероятности получаем

Дата добавления: 2014-01-20