Частные производные функции многих переменных

Рассмотрим функцию двух переменных .

Зафиксируем значение одного из ее аргументов, например , положив . Тогда функция есть функция одной переменной . Пусть она имеет производную в точке :

.

Данная производная называется частной производной (или частной производной первого порядка) функции по в точке и обозначается: ; ; ; .

Разность называется частным приращением по и обозначается :

.

Учитывая приведенные обозначения, можно записать

.

Аналогично определяется

.

Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения частного приращения функции к приращению соответствующей независимой переменной, когда это приращение стремится к нулю.

При нахождении частной производной по какому-либо аргументу другие аргументы считаются постоянными. Все правила и формулы дифференцирования функций одной переменной справедливы для частных производных функции многих переменных.

Заметим, что частные производные функции являются функциями тех же переменных. Эти функции, в свою очередь, могут иметь частные производные, которые называются вторыми частными производными (или частными производными второго порядка) исходной функции.

Например, функция имеет четыре частных производных второго порядка, которые обозначаются следующим образом:

; ;

; .

и - смешанные частные производные.

Пример. Найти частные производные второго порядка для функции

.

Решение. , .

, .

, .

Задание.

1. Найти частные производные второго порядка для функций

, ;

2. Для функции доказать, что .

Дата добавления: 2014-01-20