Производная по направлению. Градиент

Пусть функция z=f(x,y) определена в некоторой окрестности точки M(x,y) и - некоторое направление, задаваемое единичным вектором . Координаты единичного вектора выражаются через косинусы углов, образуемых вектором и осями координат и называемых направляющими косинусами:

,

.

При перемещении точки M(x,y) в данном направлении l в точку функция z получит приращение

,

называемое приращением функции в данном направлении l.

Если ММ₁=∆ l, то

.

Тогда

.

Опр. Производной функции z=f(x,y) по направлению называется предел отношения приращения функции в этом направлении к величине перемещения ∆ l при стремлении последней к нулю:

.

Производная по направлению характеризует скорость изменения функции в данном направлении. Очевидно, что частные производные и представляют собой производные по направлениям, параллельным осям Ox и Oy. Нетрудно показать, что

.

Пример. Вычислить производную функции в точке (1;1) по направлению .

Опр. Градиентом функции z=f(x,y) называется вектор с координатами, равными частным производным:

.

Рассмотрим скалярное произведение векторов и :

Легко видеть, что , т.е. производная по направлению равна скалярному произведению градиента и единичного вектора направления .

Поскольку , то скалярное произведение максимально, когда векторы одинаково направлены. Таким образом, градиент функции в точке задает направление наискорейшего возрастания функции в этой точке, а модуль градиента равен максимальной скорости роста функции.

Зная градиент функции, можно локально строить линии уровня функции.

Теорема. Пусть задана дифференцируемая функция z=f(x,y) и в точке градиент функции не равен нулю: . Тогда градиент перпендикулярен линии уровня, проходящей через данную точку.

Таким образом, если, начиная с некоторой точки, строить в близких точках градиент функции и малую часть перпендикулярной ему линии уровня, то можно (с некоторой погрешностью) построить линии уровня.

Дата добавления: 2014-01-20