Условный экстремум функции многих переменных

Лекция 16

Пусть на некотором множестве заданы функции многих переменных , , , …, , и пусть — множество точек, координаты которых удовлетворяют системе уравнений

,

,

… (1)

.

Уравнения (1) называются уравнениями связи.

Определение. Точка называется точкой условного максимума (минимума) функции , если существует окрестность точки , для всех точек которой, удовлетворяющих уравнениям связи, справедливо неравенство

(), .

Если имеет место строгое неравенство

(),

то точка называется точкой строгого условного максимума (минимума) функции.

Точки условного максимума и минимума называются точками условного экстремума. Значение функции в этих точках — ее условными экстремумами.

Прямой метод нахождения точек условного экстремума (метод исключения)

Предположим, что функции, стоящие в левых частях равенств (1), дифференцируемы в некоторой окрестности точки причем частные производные этих функций по переменным непрерывны в точке , а якобиан

отличен от нуля. Тогда в некоторой окрестности точки определены функции

(2)

которые являются единственным и дифференцируемым решением системы (1). Подставляя найденные функции (2) в выражение для функции , мы сведем задачу по определению условного экстремума к задаче об отыскании локального безусловного экстремума функции переменных

. (3)

Необходимым условием безусловного экстремума в точке функции является равенство нулю в этой точке всех первых частных производных:

, .

Достаточным — знакопостоянство второго дифференциала .

Дата добавления: 2014-01-20