Лекция 4. Тема: ” Случайные величины (дискретные и непрерывные)”

Тема: ” Случайные величины (дискретные и непрерывные)”

1. Случайные величины. Наряду с понятием случайного события в теории вероятности используется понятие случайной величины.

Определение 1. Случайной величиной называется переменная величина, которая в результате испытания принимает одно из возможного множества своих значений, причем заранее неизвестно, какое именно.

Будем обозначать случайные величины заглавными буквами латинского алфавита (Х,Y,Z,…), а их возможные значения – соответствующими строчными буквами (x, y,…).

Примеры:

• число очков, выпавших при броске игральной кости;

• число появлений герба при 10 бросках монеты;

• число выстрелов до первого попадания в цель;

• расстояние от центра мишени до пробоины при попадании.

Можно заметить, что множество возможных значений для перечисленных случайных величин имеет разный вид: для первых двух величин оно конечно (соответственно 6 и 11 значений), для третьей величины множество значений бесконечно, но счетно и представляет собой множество натуральных чисел, а для четвертой – все точки отрезка, длина которого равна радиусу мишени.

Таким образом, для первых трех величин множество значений состоит из отдельных (дискретных), изолированных друг от друга значений, а для четвертой оно представляет собой непрерывную область.

Определение 2. Случайная величина называется дискретной (ДСВ), если множество ее возможных значений конечно или счетно (т.е. если все ее значения можно занумеровать).

Определение 3. Случайная величина называется непрерывной (НСВ), если множество ее возможных значений целиком заполняет некоторый конечный или бесконечный интервал на числовой оси.

Наиболее полным, исчерпывающим описанием случайной величины является ее закон распределения.

Определение 4. Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и вероятностями, с которыми она принимает эти значения.

2. Закон распределения дискретной случайной величины. Для задания дискретной случайной величины нужно знать все ее возможные значения и вероятности, с которыми принимаются эти значения, т.е. задать ее закон распределения, который может иметь вид таблицы, формулы или графика.

Определение 5. Таблица, в которой перечислены все ее возможные значения дискретной случайной величины и соответствующие им вероятности, называется рядом распределения.

Для удобства возможные значения дискретной случайной величины располагают в таблицу в порядке их возрастания:

xi	x 1	x 2	…	xn	…
pi	p 1	p 2	…	pn	…

где, ,

Заметим, что события , , …, образуют полную группу, следовательно, сумма вероятностей этих событий равна единице

(1)

Пример 1. Два стрелка делают по одному выстрелу по мишени. Вероятности их попадания при одном выстреле равны соответственно 0,6 и 0,7. Составить ряд распределения случайной величины Х – числа попаданий после двух выстрелов.

Решение. Очевидно, что Х может принимать три значения: 0, 1 и 2. Найдем их вероятности. Пусть события и – попадание по мишени соответственно первого и второго стрелка. Тогда

,

,

Следовательно, ряд распределения имеет вид:

хi
pi	0,12	0,46	0,42

Ряд распределения дискретной случайной величины можно изобразить графически в виде полигона или многоугольника распределения вероятностей. Для этого по горизонтальной оси в выбранном масштабе нужно отложить значения случайной величины, а по вертикальной вероятности этих значений. Тогда точки с координатами будут изображать полигон распределения вероятностей. Соединив эти точки отрезками прямой, получим многоугольник распределения вероятностей.

Пример 2. Пусть Х – дискретная случайная величина, заданная рядом распределения

хi	-2	-1
pi	0,1	0,2	0,3	0,2	0,2

Построить полигон и многоугольник распределения вероятностей.

Решение. На оси Х откладываем значения , равные – 2,

– 1, 0, 2, 4, а по вертикальной оси вероятности этих значений.

Точки , , , , изображают полигон распределения, а ломаная - многоугольник распределения вероятностей.

Пример 3. В лотерее разыгрывается: автомобиль стоимостью 5000 ден.ед., 4 телевизора стоимостью 250 ден. ед., 5 видеомагнитофонов стоимостью 200 ден.ед. Всего продается 1000 билетов по 7 ден.ед. Составить закон распределения чистого выигрыша, полученного участником лотереи, купившим один билет.

Решение. Возможные значения случайной величины Х – чистого выигрыша на один билет равны 0-7=-7 ден.ед. (если билет не выиграл), 200-7=193, 250-7=243, 5000-7=4993 ден.ед. (если на билет выпал выигрыш соответственно видеомагнитофона, телевизора или автомобиля). Учитывая, что из 1000 билетов число не выигравших составляет 990, а указанных выигрышей соответственно 5, 4 и 1, используя классическое определение вероятности, получим:

,

,

,

.

Ряд распределения имеет вид:

хi	-7
pi	0,990	0,005	0,004	0,001

До сих пор в качестве исчерпывающего описания ДСВ мы рассматривали ее закон распределения, представляющий собой ряд распределения. Однако такое описание случайной величины X не применимо для непрерывной случайной величины (НСВ), т.к. нельзя перечислить все бесконечное несчетное множество ее значений, кроме того вероятности каждого отдельно взятого значения НСВ равны нулю.

Дата добавления: 2014-01-20