Функция распределения случайной величины

Для описания закона распределения случайной величины Х возможен и другой подход: рассматривать не вероятности событий для разных x, как это имеет место в ряде распределения для ДСВ, а вероятности события , где x – текущая переменная. Вероятность , очевидно, зависит от x, т.е. является некоторой функцией от x.

Определение 6. Функцией распределения случайной величины Х называется функция , выражающая для каждого х вероятность того, что случайная величина Х примет значение меньшее х:

(2)

Если значения случайной величины – точки на числовой оси, то геометрически функция распределения интерпретируется как вероятность того, что случайная величина Х попадает левее заданной точки х:

Свойства функции распределения:

1) 0≤ F (x)≤1.

Действительно, так как функция распределения представляет собой вероятность, она может принимать только те значения, которые принимает вероятность .

2) Функция распределения является неубывающей функцией на всей числовой оси, то есть F (x ₂) ≥ F (x ₁) при х ₂ > x ₁.

Это следует из того, что

F(x₂)=P(X<x₂)=P((X<x₁)+(x₁≤X<x₂))=P(X<x₁)+P(x₁≤X<x₂)=

=F(x₁)+P(x₁≤X<x₂). (3)

Т.к. вероятность , то из (3) вытекает .

3) , . В частности, если все возможные значения Х лежат на интервале [ a,b ], то F (x)=0 при х ≤ а и F (x)=1 при х ≥ b. Действительно, X < a – событие невозможное, а X < b – достоверное.

4) Вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала [ a, b), равна приращению ее функции распределения на этом интервале:

(4)

Справедливость этого утверждения следует непосредственно из формулы (3).

5) Функция в точке непрерывна слева, т.е.

или (5)

6)

(6)

Таким образом, каждая функция распределения является неубывающей, непрерывной слева и удовлетворяющей условиям , функцией. Верно и обратное: каждая функция, удовлетворяющая перечисленным условиям, может рассматриваться как функция распределения некоторой случайной величины.

Законом распределения СВ называется любое правило, позволяющее определить ее функцию распределения.

Для дискретной случайной величины значение F (x) в каждой точке представляет собой сумму вероятностей тех ее возможных значений, которые меньше аргумента функции.

(7)

Функция распределения любой ДСВ разрывна, возрастает скачками при тех значениях x, которые являются возможными значениями , а величина скачка находится по формуле (5). Если два возможных значения величины разделены интервалом, в котором других возможных значений нет, то в этом интервале функция распределения F (x) постоянна. Если возможных значений конечное число, например , то функция распределения F (x) представляет собой ступенчатую кусочно-постоянную кривую с интервалом постоянства.

Пример 4. Найдем F (x) для примера 1:

Соответственно график функции распределения имеет ступенчатый вид:

Дата добавления: 2014-01-20