Етод половинного делениЯ

Лгоритмы нахождениЯ корней уравнений.

ђешение алгебраических уравнений численными методами состоит из двух этапов:

Р отделение корней, т. е. отыскание достаточно малых интервалов
(a, b), в каждом из которых заключен один и только один корень;

Р вычисление (уточнение) корнЯ с заданной погрешностью.

ђассмотрим более подробно алгоритмы длЯ уточнениЯ корней.

Њетод половинного делениЯ ЯвлЯетсЯ более универсальным, всегда приводит к искомому результату, хотЯ и требует большого объема вычислений. „лЯ нахождениЯ корнЯ уравнениЯ f (x)=0, принадлежащего отрезку [ a, b ], делим отрезок пополам z = (a + b)/2 (см. рис. 5.12,а). „алее рассмотрим значениЯ функции y = f (x) в точках x = a и x = z. …сли значениЯ f (a)и f (z)разных знаков, т. е. f (a) f (z) < 0, то исходный отрезок[ a, b ] уменьшим в два раза путем переноса точки x = b в точку x = z. Ќовый отрезок [ a, b ] вновь делим пополам (см. рис. 5.12,б) и так как f (a) f (z) < 0, то переносим точку x = a в точку x = z, уменьшаЯ [ a, b ] в два раза. ЏовторЯем указанную процедуру до тех пор, пока длина отрезка, содержащего корень, не станет меньше заданной погрешности ε. ‹юбое значение ЯвлЯетсЯ искомым значением корнЯ, однако на практике в качестве корнЯ выбирают середину отрезка, т. е. x = (a + b)/2.

Џри организации итерационного цикла вычислЯетсЯ последовательность отрезков

[ a ₀, b ₀], [ a ₁, b ₁], Й, [ a_n, b_n ], Й,

длЯ которой

„лЯ контролЯ точности вычислениЯ корнЯ можно использовать следующую последовательность значений

поэтому условие выхода из цикла

или условие продолжениЯ цикла

‘хема алгоритма уточнениЯ корнЯ алгебраического уравнениЯ методом половинного делениЯ приведена на рис. 5.13. ‚ результате выполнениЯ такого алгоритма выводитсЯ значение корнЯ (с заданной погрешностью), а также значение функции f (x), которое очень близко к нулевому значению и может быть использовано длЯ контролЯ правильности полученного результата.

y

f(z)

0 a

x^* z b

f(a)

a)

y

y=f(x)

0 a x^*

f(z) z b x

f(a)

b)

ђис. 5.12 ѓрафическаЯ иллюстрациЯ метода половинного делениЯ

Дата добавления: 2014-01-20