Упорядоченные пары и прямое произведение множеств

Бинарные отношения. Основные определения

Краткое содержание лекции

· Упорядоченные пары и прямое произведение множеств

· Бинарные отношения, основные определения

· Теорема о свойствах бинарного отношения

Пусть a и b – два произвольных объекта.

Определение. Упорядоченной парой (a, b) называют такой набор этих объектов, в котором a имеет номер 1, а b – номер 2.

Значит, если, так как в упорядоченной паре (b,a) объект b имеет номер 1, объект а – номер 2.

По аналогии с упорядоченной парой вводят понятие упорядоченной тройки, четверки, п -ки объектов.

Упорядоченная п -ка – это набор из п объектов (а ₁, а ₂, …, а_п), в котором а ₁ – первый объект, а ₂ - второй, …, а_п – энный. Далее, в качестве разделителя элементов упорядоченной п -ки будем использовать не только запятую, но и точку с запятой, считая эти разделители равнозначными.

Определение. Прямым (декартовым) произведением множеств А и В (обозначение: ) называется множество упорядоченных пар, где первый элемент принадлежит первому множеству, а второй – второму.

. Соответственно

В общем случае

Пример. Пусть . Тогда

По аналогии с прямым произведением двух множеств определим прямое произведение n множеств как множество вида

Обозначение:

Утверждение. Если , то .

Доказательство.

Чтобы составить упорядоченную пару, нужно выполнить два действия: выбрать первый элемент пары; выбрать второй элемент пары. Первое действие выполняется m способами, если выбирать из множества А, и n способами, если выбирать из множества В. Второе действие можно выполнить n способами, если элемент выбирается из множества В и m способами, - если из множества А. Поэтому

Замечание. В строгих курсах теории множеств упорядоченную пару определяют так: .

Дата добавления: 2014-01-20