Корневые методы оценки качества

Поскольку корни передаточной функции САУ, а точнее ее характеристического полинома, однозначно определяют вид переходного процесса, их можно использовать для оценки:

запаса устойчивости,

быстродействия.

Обычно обходятся исследованием только полюсов передаточная функция, т.е. корней характеристического уравнения.

Рис. 4. Распределение корней передаточной функции.

На рис. 4 показано распределение нескольких корней передаточной функции САУ. Следует отметить, что, если имеются комплексные корни вида -, то система будет склонна к колебаниям. Оценить эту склонность можно используя показатель запаса устойчивости — колебательность. Колебательность определяется как:

где: — коэффициент затухания; — круговая частота колебаний.

Колебательность определяет другой показатель — затухание амплитуды колебаний за период частоты собственных колебаний САУ.:

.

То есть

.

Задание определенной колебательности, ограниченной требованиями технологического агрегата, ограничивает допустимую область расположения корней.

Колебательность системы можно найти, используя подстановку , что соответствует повороту осей плоскости корней на угол . Далее, используя любой критерий устойчивости, подбирают угол , при котором система будет находиться на границе устойчивости. И тогда:

Для оценки быстродействия САУ может использоваться понятие степени быстродействия то есть абсолютного значения вещественной части ближайшего к мнимой оси корня. Следовательно, если этот корень , то равна коэффициенту затухания .

Рис. 5. Допустимые области расположения корней характеристического полинома.

И действительно, составляющая в переходном процессе , затухает тем медленней, чем меньше . Если в конце переходного процесса амплитуда колебаний равна , то время переходного процесса:

.

Задание определенной степени быстродействия также ограничивает допустимую область расположения корней характеристического полинома, как это показано на рис. 5.

Степень быстродействия можно найти используя постановку , что соответствует смещению корней на величину . Далее, используя любой критерий устойчивости, подбирают значение , при котором система будет на границе устойчивости. И тогда: .

Для рассмотрения обобщенных характеристик САУ используется понятие о среднегеометрическом корне . Пусть имеем характеристическое уравнение:

.

Приведем его к нормированному виду (разделим на и выполним подстановку ):

,

где: - среднегеометрический корень.

Для статических САУ , для астатических , . Следовательно, увеличивая , можно увеличить . На основании теоремы подобия увеличение вызовет пропорциональное радиальное смещение корней. Т.е. вид переходного процесса меняться не будет, но будет меняться его временной масштаб. Поэтому среднегеометрический корень является мерой быстродействия.

Для приведенного уравнения время будет безразмерным , переходная функция в случае кратных вещественных корней или одной пары комплексных будет ограничена минорантой и мажорантой:

,

где: — разложение в ряд Тейлора огибающей той составляющей в переходном процессе, корень которой ближе к оси "".

Рис. 6. Распределение корней и вид переходной функции

На рис. 6 демонстрируется, что любой переходный процесс в любой системе будет затухать тем медленней, чем больше корней вблизи оси "+1".

Дата добавления: 2014-01-20