П. 10. Понятие о статистических гипотезах. Критерии согласия

С теорией статистического оценивания параметров тесно связана проверка статистических гипотез.

Определение 33. Статистической гипотезой называется любое предположение о виде неизвестного закона распределения или о параметрах известного распределения.

Теория статистического оценивания используется всякий раз, когда необходим обоснованный вывод о преимуществах того или иного способа инвестиций, измерений, стрельбы, технологического процесса, об эффективности нового метода обучения, управления, о пользе вносимого удобрения, принимаемого лекарства, о значимости математической модели и т.д.

Определение 34. Проверяемую гипотезу называют нулевой или основной и обозначают Н ₀.

Определение 35. Противоположную или противоречащую выдвинутой гипотезе Н ₀ гипотезу Н ₁ называют альтернативной или конкурирующей.

Пример. Основная гипотеза Н ₀ имеет вид: а = 10. То конкурирующей может быть гипотеза: 1) Н ₁ : а > 10, 2) Н ₁ : а ≥ 10; 3) Н ₁ : а ≥ 5 4) Н ₁ : а ≤ 10. Выбрать правильный ответ или ответы.

Ответ. №1. Н ₁ : а > 10. Остальные гипотезы не противоречат нулевой.

Общая постановка задачи проверки гипотез. Имеются две противоположные гипотезы Н ₀ и Н ₁ и некоторая связанная с ними случайная величина У. Пусть у обозначает числовое значение случайной величины У, полученное в результате испытания, Δ – множество всех возможных значений СВ У. Требуется произвести проверку нулевой гипотезы относительно конкурирующей на основании результатов испытания. Разобьем множество Δ на две части Δ₁ и Δ₂ с условием принятия гипотезы Н ₀ при попадании значения у СВ У в результате опыта в Δ₁ и гипотезы Н ₁ – при попадании у в Δ₂. Выбор решающего правила разбиения множества Δ на две части Δ₁ и Δ₂ в любой задаче проверки гипотез возможен больше, чем одним способом. Спрашивается: какое из всех возможных разбиений считать наилучшим?

Для проверки нулевой гипотезы используют специально подобранную случайную величину, точное или приближенное распределение которой известно.

Определение 36. Случайная величина К, которая служит для проверки нулевой гипотезы, называется статистическим критерием.

Т.е. критерий – это некое правило, которое сопоставляет каждому возможному значению или всему множеству возможных значений случайной величины У, связанной с двумя противоположными гипотезами Н ₀ и Н ₁, одну из гипотез.

В итоге статистической проверки гипотез могут быть допущены ошибки двух типов:

1) ошибка первого рода состоит в том, что отвергнута нулевая гипотеза, когда она верна. Вероятность совершить ошибку первого рода обозначают α и называют уровнем значимости,

2) ошибка второго рода состоит в том, что принята нулевая гипотеза, когда верна конкурирующая. Вероятность совершить ошибку второго рода обозначают β.

Последствия этих ошибок могут оказаться различными, они зависят от конкретной задачи.

Определение 37. Вероятность (1 – β) того, что нулевая гипотеза будет отвергнута, если верна конкурирующая, называют мощностью критерия.

Для проверки гипотезы по выборке вычисляют значение критерия и получают так называемое наблюдаемое значение критерия К _набл.

Определение 38. Критической областью называют совокупность значений критерия, при которых нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернативная.

Определение 39. Областью принятия гипотезы называют совокупность значений критерия, при которых нулевая гипотеза принимается.

Основной принцип проверки статистических гипотез: если наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области, гипотезу отвергают; если наблюдаемое значение критерия принадлежит области принятия гипотезы, гипотезу принимают.

Определение 40. Точки, отделяющие критическую область от области принятия гипотезы, называют критическими точками и обозначают К _кр.

Различают следующие критические области: 1) правосторонняя, т.е. (К _кр; +∞), 2) левосторонняя, т.е. (–∞; К _кр), 3) двусторонняя, т.е. (–∞; К _1кр) Ụ (К _2кр; +∞), где К _1кр < К _2кр.

Для нахождения критических точек задают достаточно малую вероятность – уровень значимости α, и К _кр. находят из требования:

1) для правосторонней критической области P (K > K _кр.) = α,

2) для левосторонней критической области P (K < K _кр.) = α,

3) для двусторонней критической области P (K < K _1кр.) + P (K > K _2кр.) = α.

Для каждого критерия имеются таблицы, по которым и находят приближенную точку, удовлетворяющую необходимому требованию.

Пусть нулевая гипотеза принята. Ошибочно думать, что она доказана. Более правильно говорить: данные наблюдений согласуются с нулевой гипотезой и, следовательно, не дают основания ее опровергнуть.

На практике для большей уверенности гипотезу проверяют другими способами или повторяют эксперимент, увеличив объем выборки.

Опровергают гипотезу более категорично, чем принимают. Действительно, достаточно привести один пример, противоречащий некоторому общему утверждению, чтобы это утверждение опровергнуть.

Если функция распределения случайной величины заранее неизвестна, возникает необходимость ее определение по эмпирическим данным.

Определение 41. Критерии, которые позволяют судить, согласуются ли значения х ₁, х ₂,…, х_n случайной величины Х с гипотезой относительно ее функции распределения, называются критериями согласия.

Также критерии согласия решают задачу: является ли расхождение между опытным законом распределения и предполагаемым законом распределения следствием ограниченного числа наблюдений, или оно является существенным и связано с тем, что действительное распределение случайной величины отличается от предполагаемого.

Наиболее распространенными в практическом применении – критерий Пирсона (хи-квадрат) и критерий Колмогорова.

Дата добавления: 2014-01-11