Спектр модулированного по углу сигнала

Введем два слагаемых α и γ для полной фазы в (13). Тогда

. (14)

В этом выражении только гармонические функции и оно позволит сделать заключение по спектру. Первоначально предположим, что информационный (полезный) сигнал слабо воздействует на несущий, то - есть β<<1. Тогда уместны некоторые допущения: ; ; , и

. (15)

Итоги таковы, в спектре модулированного сигнала будут следующие частотные составляющие.

1) Частота ω₀ – несущая сигнал с амплитудой А₀.

2) Частота нижняя боковая с амплитудой . Эта составляющая имеет дополнительный сдвиг на π (знак минус) и в этом заключается ее отличие от подобной в спектре модулированного АМ сигнала.

3) Частота с амплитудой . Все составляющие показаны на рис. 18. Ширина спектра такая же как и при амплитудной модуляции.

Рис. 18. Спектр при угловой модуляции (малые индексы).

Векторная диаграмма приведена на рис. 19.

Рис. 19. Векторная диаграмма сигнала

Напомним, что индекс модуляции показывает степень воздействия полезного сигнала на несущее колебание (процесс происходит в модуляторе ЧМ или ФМ). Если при изменении полезного сигнала на 1 В частота изменилась на 1 кГц – это низкий коэффициент, если на 10 кГц – это высокий. Чем выше степень воздействия полезного сигнала на угол несущего, тем легче будет выделить информационный сигнал при приеме. Использование высоких β выгодно. Поэтому далее рассмотрим спектр при больших индексах (β>>1). Как и прежде

. (16)

В разделе высшей математики «Специальные функции» есть дифференциальное уравнение Бесселя, которым описываются многие прикладные физические процессы. Его решение записывается в виде функций Бесселя, которые табулированы и представлены в математических программах, их обозначение - J_k(x), где k – порядок, а х – аргумент.

Тригонометрические функции от тригонометрического аргумента можно выразить в (16) через ряды функций Бесселя, а именно:

(17)

и

. (18)

Подставим это в (16) итогда

. (19)

А далее, расписав произведение sin и cos, получим:

, (20)

выражение, в котором только гармонические функции, позволяющие выйти на спектр. Итак, в спектре будут следующие составляющие.

- Несущая частота ω₀ с амплитудой А₀J₀(β).

- комбинационные частоты (не гармоники от основной частоты ω₀±2nΩ с амплитудами . При n=1,2,3,4… это, ω₀±2Ω

ω₀±4Ω, ω₀±6Ω и т. д.

- комбинационные частоты амплитудой . При n=0,1,2,3… это ω₀±Ω, ω₀±3Ω, ω₀±5Ω и т. д.

Как и прежде, при модуляции АМ, появляются две боковые полосы, нижняя и верхняя, сгруппированные около несущей. Но выше они состояли из двух частот, а теперь наполнены комбинационными частотами. Спектр получился богаче. Амплитуды каждой составляющей зависит от величины функции Бесселя. А значение функций Бесселя зависит от порядка 2n или 2n+1(далее k) и индекса модуляции β, причем являются убывающими при увеличении этих показателей. Убывание носит не монотонный, а осциллирующий характер (колебательный), рис. 20. При некоторых β и k они принимают нулевые значения, следовательно, выбором индекса модуляции β можно исключить некоторые составляющие спектра. В частности можно убрать бесполезную несущую частоту w₀, улучшив тем самым энергетику сигнала.

Рис. 20. Поведение функций Бесселя.

Функции Бесселя любого порядка k, начиная с некоторого значения аргумента β резко уменьшаются, рис. 21. Доказано, что граница этого наступает рои k=β, а так как k номер комбинационной составляющей, можно определить полосу частот занимаемую сигналом Δw. Так как k=β, , или с учетом двух боковых полос и тогда Δw=2βΩ.

Рис. 21. Характер уменьшения J_k(β).

На рис. 22 показан спектр модулированного по углу сигнала. При больших индексах он насыщен комбинационными частотами. Их амплитуды определяются функциями Бесселя и могут быть в пределах полосы неубывающими по частоте, вплоть до нулевых.

Рис. 22. Спектр сигнала при угловой модуляции

По данной теме можно сделать следующие важные для практики выводы.

- Сигнал при угловой модуляции имеет полосу частот в β большую, чем при АМ.

- В спектре появляются комбинационные частоты, кратные частоте полезного сигнала Ω. Не путайте их с гармониками.

- Интенсивность спектральных составляющих определяется величиной функции Бесселя, что дает возможность исключить из сигнала бесполезную несущую простым выбором индекса модуляции.

- Энергетические показатели сигнала лучше, чем при АМ, так как амплитуда сигнала постоянна, отсутствуют минимумы мгновенных значений (см. рис. 2). Следовательно отношение сигнал/помеха постоянно во времени, что и обеспечивает высокое качество приема.

В заключении простой приме.

Радиовещание в средневолновом диапазоне ведется при АМ. Принимая граничную частоту музыкального сигнала 10 кГц, имеем полосу частот АМ 2*10=20кГц. Качество вещания невысокое из за помех.

Радиовещание на УКВ (УКВ-ЧМ) ведется с ЧМ при индексе модуляции β=15, полоса занимаемых частот 2*15*10=300кГц. Хотя у такого сигнала есть преимущества, разместить его в средневолновой области вещания невозможно из за «тесноты в эфире». Именно поэтому и выбран УКВ диапазон, диапазон более коротких волн.

Дата добавления: 2014-01-20