Функции многих переменных

ЛЕКЦИЯ №!.

ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ.

.

Пусть M есть множество пар x,y действительных чисел. N есть некоторое множество действительных чисел Z.

Функцией двух переменных x,y называется правило, покоторому каждой паре x,y из множества M действительных чисел отвечает определенное действительное число z из множества N.

X,y называются независимыми переменными или аргументами.

Z называется зависимой переменной или функцией.

В выше указанном определении функции предполагается, что каждому числу z из множества N отвечает хотя бы одна пара чисел x,y из множества M.

Множество M называется областью определения функции.

Множество N- областью значений функции.

Функцию обозначим так: z=f(x,y), z=.

Здесь f или правило, о котором было сказано в определении фунукции

Например, площадь z прямоугольника со сторонами x,y равна z=xy и является функцией двух переменных – x и y.

Каждой паре чисел x,y на плоскости OXY отвечает точка P(x,y), поэтому функцию двух переменных z=f(x,y) можно рассматривать также как функцию точки P, при этом (условно) пишут

Z=f(x,y)=f(P).

Множеству M пар чисел x,y на плоскости OXY отвечает некоторое множество точек. Следовательно, область определения функции двух переменныхz=f(x,y) равно z=f(P) на плоскости OXY служит совокупность точек. Будем рассматривать функции, для которых областью определения функции служит часть плоскости OXY, ограниченная некоторой линией. Будем рассматривать функции, для которых областью определения функции служит часть плоскости, лежащая внутри указанной линии. Эта линия называется границей области определения. Точки области, не лежащие на границе, называются внутренними точками. Если в область определения функции входят также точки границы, т.е. в точках границы функция тоже определена, то область определения называется замкнутой областью.

D –область определения.

L- граница области.

Если функция z=f(x,y) в конкретной точке (x,y) принимает значение z- определенное число, то запишем z=f(x,y).

Способы задания функции двух переменных.

Табличный способ задания функции z=f(x,y) заключается в том, что значения этой функции задаются с помощью таблиц с двумя входами следующего вида:

x/y	y	Y	….	y
x	f(x,y)	f(x,y)	…	f(x,y)
…	…	…	…	…
x	f(x,y)	f(x,y)	…	f(x,y)

Чаще используют аналитическое задание функции двух переменных, т.е. задание функции с помощью формулы, например,

Z=f(x.y), z=x+y.

Если функция задана z=f(x,y) одной формулой без каких-либо дополнительных предположений относительно области определения, то в этом случае под областью определения этой функции понимают совокупность всех точек плоскости OXY, для которых эта формула принимает действительное значение, т.е. по ней можно найти соответствующее действительное значение функции. Пусть, например, функция задана формулой

z =.

у

Областью определения рассматриваемой функции служит круг R=1 с центром в начале координат. В этот круг включаются и точки границы круга – точки окружности

Здесь область определения является замкнутой областью. На границе области определения,т.е. в точках окружности наша функция принимает значение z=0.

Геометрическое изображение функции двух переменных.

Пусть в области D плоскости OXY задана функция z=f(x,y). В пространстве OXYZ, точнее на плоскости OXY этого пространства, покажем область D.

В точке P(x,y) области D вычислим значения заданной функции z=f(x,y)(здесь x,y координаты точки P).

После этого в пространстве OXYZ строим точку с координатами x,y,z,

Т.е. строим точку M(x,y,z,) причем x,y здесь равны координатам т.P,

Точка M на прямой, параллельной оси OZ и проходящей через т.P. Расстояние PM=z при z>0, в этом случае т.M лежит выше плоскости OXY, и PM=-z при z<0, в этом случае т.M лежит ниже плоскости OXY.

Это построение выполним для всех точек области D, тогда в пространстве OXYZ получим совокупность точек, соответствующих функции z=f(x,y).

Будем рассматривать функцию z=f(x,y), для которой указанная совокупность точек M(x,y,z) образует некоторую поверхность.

Функции z=f(x,y) в пространстве OXYZ отвечает некоторая поверхность, называемая графиком этой функции. По построению, координаты x,y,z любой точки этой поверхности удовлетворяют соотношению z=f(x,y).

Следовательно, соотношение z=f(x,y) является уравнением этой поверхности, например, функции z=в пространстве OXYZ отвечает параболоид вращения.

Функции в пространстве OXYZ отвечает верхняя часть сферы радиуса равного 1, с центром в начале координат.

Функции трех и более переменных.

Понятие таких функций вводится совершенно аналогично предыдущим.

Функция трех переменных x,y,z обозначается u=f(x,y,z). Каждой тройке чисел x,y,z в пространстве OXYZ отвечает точка P с координатами x,y,z, следовательно, указанную функцию можно рассматривать как функцию точки P пространства, записывают:

u=f(x,y,z)=f(P).

Будем рассматривать функции трех переменных u=f(x,y,z)=f(P), для которых областью определения служит некоторая часть пространства OXYZ,ограниченная некоторой замкнутой поверхностью. Эта поверхность называется границей области определения. Функция n переменных обозначается так Введем в рассмотрение n – мерное пространство, в котором совокупности n- чисел отвечает определенная точка P, для которой являются координатами точки. При этом функцию n-переменных можно рассматривать как функцию точки P с координатами ().

Будем писать u=f(P).

Функция трех и более переменных геометрического смысла не имеет. Функция n переменных обозначается так: u=f(x), здесь x- аргументы.

Частное и полное приращения функции многих переменных.

Дана функция z=f(x,y), Пусть y не меняется, а меняется x и получает приращение , при этом функция z=f(x,y)получает приращение, обозначаемое

и называемое частным приращением по x функции z=f(x,y), соответствующее приращению и вычисленным для точки x,y.

Пусть x не меняется, а меняется y и получает приращение, равное , тогда

Называется частным приращением по y для функции z=f(x,y),соответствующим приращению и вычисленным для точки x,y.

Пусть меняются оба аргумента, причем x получает приращение , а y- , тогда

Называется полным приращением функции z=f(x,y), соответствующим приращениям и вычисленным для точек x,y.

Возьмем функцию n- переменных пусть меняется только x- первый аргумент и получает приращение тогда

Называется частным приращением по xнашей функции, соответствующим приращению и вычисленным для точек ().

Если все аргументы получают приращения, то имеем полное приращение рассматриваемой функции

.

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ.

Рассмотрим предел функции переменных z=f(X,Y)=f(P), причем точка P(x,y) – переменная точка. Пусть - двух фиксированная точка, - заданные числа. Точки P,Pлежат в области D определения функции. Пусть точка P(x,y) приближается к P() по любому пути. Пусть при этом соответствующее значение функции f(P)=f(x,y) стремится к числу b, в том смысле, что |f(x,y)-b|. Будем говорить, что число b – есть предел функции f(P), когда P.

Чтобы дать определение предела введем понятие окрестности точки P.

Окрестностью точки называется внутренность круга с центром в точке , если радиус круга равен , то этот круг называется - окрестностью точки . Для любой точки P(x,y) - окрестности точки P расстояние , следовательно,

Строгое определение предела функции z=f(x,y)=f(P) при

Число b называется пределом функции f(x,y)=f(P) при по любому пути, если для любого сколь угодно малого положительного числа найдется такая окрестность точки , что для всех точек этой окрестности, исключая может быть точку выполняется неравенство |f(P)-b|<. Каким бы малым не было .

Из определения видно, что речь идет о пределе функции при произвольном стремлении P, поскольку |f(P)-b|<выполняется для всех точек - окрестности, причем, для любого малого числа найдется соответствующая -окрестность точки P.

Если b есть предел функции, то пишут

limf(P)=b, limf(x,y)=b.

Функция называется бесконечно малой при , если ее предел равен 0.

Самостоятельно:

Lim()=0.

x,

y.

НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ.

Функция многих переменных u=f(P) называется непрерывной в точке , если

Limf(P)=f() (1),

Т.е. 1) функция f(P) определена в точке , f(P) – существует.

2) существует предел limf(P).

PP

3) этот предел равен f(P).

Для непрерывных функций многих переменных справедливы теоремы, доказанные для функций одной переменной.

Возьмем функцию двух переменных f(P)=f(x,y), причем P(x,y).

Пусть P(x,y)- фиксированная точка. Для этой функции условие непрерывности (1) можно записать

Limf(x,y)=f(x,y). (2)

xx

yy

Это соотношение справедливо для функции f(x,y), непрерывной в точке P(x,y).

Т.К f(x,y) есть величина постоянная и от x,y не зависит, то

Limf(x,y)=f(x,y)

xx

yy поскольку предел есть величина постоянная.

Этот предел подставим в правую часть формулы (2), затем его перенесем влево. Учтем, что разность пределов равна пределу

разности:

Lim[f(x,y)-f(x,y)]=0. (3)

xx.

yy

Здесь положим x-x=x, y-y=y, тогда

x0, y0 при xx, yy.

X=x+x, y=y+y

Эти суммы подставим в (3)

Lim[f(x+x,y+y)-f(x,y)]=0, (4)

x0

y0

Но f(x+x,y+y)-f(x,y)=z-

Есть полное приращение функции z=f(x,y) в точке (x,y),

Соответствующее приращениям x,. Запишем

limz=0 (5)

x0

y0

Если функция z=f(x,y) непрерывна в точке (x,y), то ее полное приращение в этой точке, соответствующее приращениям x,y,стремится к 0, когда

x0,y0.

Это условие называется вторым определением непрерывности функции многих переменных. Оно справедливо для функций любого числа переменных.

Точка Pназывается точкой разрыва функции u=f(P), если в этой точке нарушается хотя бы одно из трех условий непрерывности. Точек разрыва у функций многих переменных может быть несколько, даже целое множество. Например, для функции двух переменных z=f(x,y) точки разрыва могут образовывать даже линии на плоскости OXY. Такие линии называются линиями разрыва функции.

Например, для функции z=линией разрыва служит прямая y=x, т.к. для всех точек этой прямой функция не определена, т.к. в знаменателе появился 0.

ЛЕКЦИЯ 2.

ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ.

Пусть дана функция двух переменных z=f(x,y).

ЧАСТНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ ПО Х от этой функции называется производная, вычисленная в предположении, что y – постоянная(y=const). Эта производная обозначается или ,.

Т.К. мы считаем, что y не меняется, то получаем функцию z=f(x,y)

Одного аргумента x. Если x получает приращение x, то эта функция получает приращение

f(x+x,y)-f(x,y),

но это есть частное приращение по x функции z=f(x,y).

Приращению x отвечает частное приращение по x функции z

,

Тогда по определению производной функции аргумента x рассматриваемая частная производная равна

ЧАСТНАЯ ПРОИЗВОДНА ПО y

Как и раньше, покажем, что частная производная по y, вычисленная в т.

(x,y) от функции z=f(x,y), равна

. Эта производная обозначается:

Где

Пусть функция n- переменных u=f(x,x,…x).

Пусть меняется только x, все остальные аргументы – постоянные, тогда можно вычислить частную производную по x:

Например, z=x.

Если меняется x, т.е. y=const, то получаем степенную функцию типа (x) и поэтому частная производная

.

Если меняется y, т.е. x=const, то получаем показательную функцию (типа a), потому частная производная по y равна

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ (СРС).

ПОЛНОЕ ПРИРАЩЕНИЕ. ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ И СВЯЗЬ МЕЖДУ НИМИ.

Дана функция z=f(x,y). Она имеет непрерывные частные производные

в точке (x,y).

(1)

Есть полное приращение функции в точке (x,y), соответствующее приращениям . Справа в (1) прибавим и вычтем f(x,y+):

] (2)

Вторая разность справа есть разность двух значений нашей функции при одном и том же x, т.е. здесь меняется лишь второй аргумент y и получает приращение . Мы имеем разность двух значений функции одного аргумента. Разность двух значений функции одного аргумента можно записать по формуле Лагранжа

(f(b)-f(a)=f(c)(b-a), a<c<b)

В виде произведения производной этой функции (в нашем случае эта производная будет частной производной по y, т.к. x не меняется), взятой в некоторой промежуточной точке и разности аргументов:

f(x,y+)-f(x,y)=

Аналогично запишем первую разность правой части формулы (2)

F(x+) –f(x,y+)=,

Здесь - точка, лежащая между x и x+,

Примет вид

Пусть , тогда x+,y+yy, y Частные производные непрерывны в точке (x,y), поэтому пределы производных, входящих в формулы (3), при равны значениям этих производных в предельной точке (x,y)

lim

Из теории пределов: функция равна своему пределу плюс бесконечно малая функция, поэтому

Где - б.м. функции, т.е. стремятся к 0 при

Последние выражения подставим в (3)

(4)

Здесь

Введем функцию двух переменных

Эту формулу запишем:

, т.к. сумма их квадратов равна 1.

являются ограниченными функциями от когда

В (4) сумма при является б.м. функцией, т.к. она стремится 0. Эта функция есть б.м. более высокого порядка, чем при , т.к. их отношение при

являются б.м. функциями, поскольку произведение б.м. функции и ограниченной функции есть б.м. функция; тогда сумма этих произведений также б.м. функция при

б.м. более высокого порядка, чем при

Функция z=f(x,y), для полного приращения которой в точке (x,y) справедлива формула (4), называется дифференцируемой в этой точке (x,y).

К формуле (4) мы пришли, что функция z=f(x,y) имеет непрерывные частные производные по x и по y. Функция z=f(x,y) дифференцируема в точке (x,y), т.е. для не справедлива формула (4), если в точке (x,y) существуют непрерывные производные этой функции по x и по y, причем в формуле (4)

есть б.м. функция более высокого порядка по сравнению с , когда .

При этом сумма первых двух слагаемых в правой части формулы (4) называется полным дифференциалом в точке (x,y) функции z=f(x,y)и обозначается dz. Этот полный дифференциал равен

(5)

Формула (4) примет вид;

(6)

Запишем (5) для случая, когда z=x, т.е. f(x,y)=x,

Формула (5), если учесть, что

Аналогично Дифференциалы независимых переменных равны их приращениям. Запишем дифференциал функции по формуле (5)

(7).

Пусть дана функция n – переменных

Полным дифференциалом этой функции назовем выражение

Если входящие сюда частные производные непрерывны, то можно показать, что полное приращение рассматриваемой функции

Где - б.м. функции, т.е. они стремятся к 0, когда

ПРИМЕНЕНИЕ ПОЛНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛА К ПРИБЛИЖЕННЫМ ВЫЧИСЛЕНИЯМ.

В формуле (6) сумма есть б.м. более высокого порядка, чем

. Следовательно, быстрее, чем dz и

Поэтому при малых сумма принимает значение значительно меньшее, чем dz и , поэтому приближенно указанной суммой можно пренебречь:

(8)

Полное приращение функции прибли,женно заменяем полным дифференциалом функции. Подставим сюда (1) для и (5) для dz. Получим:

(9)

Эта формула позволяет вычислить значение функции f(x,y) в новой точке (), зная значения этой функции и ее частных производных в старой точке (x,y). Запишем (9) для функции , т.е. f(x,y)=

Пусть здесь x=1, y=1,

ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ.

Пустьz=F(u,v), где u,v – являются функциями от x,y,

Z является функцией от x,y,z=F[].

Следовательно, можно найти от полученной функции.

Здесь имеем сложную функцию z, зависящую от x,y. Требуется вычислить частные производные, не выражая z непосредственно через x,y, а имея лишь функции z=F(u,v),

Последние три функции имеют непрерывные частные производные по своим аргументам. Пусть y не меняется(y=const), меняется только x, получая приращение Функции получают частные приращения

И эти приращения аргументов u,v функции z=F(u,v) вызовут полное приращение этой функции. Это полное приращение мы запишем по формуле аналогично (4)

(10)

Здесь при

Приращение мы получили, предполагая, что y=const, следовательно, это приращение , содержащееся в (10), является частным приращением по x.

функции z, зависящей от x,y.

В формуле (10) заменим на , после этого полученное соотношение поделим на (11)

Пусть тогда т.к. эти функции являются непрерывными, поскольку они имеют непрерывные частные производные по своим аргументам. При этом Учтем здесь формулу (11):

При .

Имеем

(12)

Поступая аналогичнс, получим

(13)

Эти формулы решают поставленные задачи.

Пример.

u=xy,

Пусть

Z=F(u,v), u= v= (14)

U,v зависят от x, следовательно, также зависит лишь от одного аргумента x и z. Производная от z по x теперь уже не частная, а обычная и находится по формуле, получаемой из формулы (12)

(15)

Пусть в (14) u=x, тогда z=F(x,v), v=v(x).

Формула (15) примет вид:

(16)

Эта формула служит для определения полной производной ; правая часть содержит - частную производную.

Z=x v=sinx,

По формуле (16)

ЛЕКЦИЯ 3.

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ.

Соотношение F(x,y)=0 определяет неявную функцию

Если нам удастся из данного соотношения выразить yчерез x, получим явное задание. Но производную можно найти, не переходя к явному заданию. Левую часть исходного соотношения обозначим через t, запишем t=F(x,y) =0, где Запишем производную от функции t=F(x,y)=0,где . Эта производная вычисляется по формуле (16). Имеем

Но t всегда равно 0, следовательно, ее производная всегда 0, т.е.

получим

или

Пусть соотношение F(x,y,z)=0 определяет неявную функцию . Это запишем так:

t=F(x,y,z)=0, где (18)

zб следовательно, и t есть функция двух переменных.

Вначале (18) дифференцируем по x при y=const, затем по y при x=const. Аналогично предыдущему, получим следующие формулы

Например для неявной функции имеем

ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ.

Пусть функция z=f(x,y) имеет частные производные

Каждая из этих производных является функцией двух переменных x,y, следовательно, от не, также можно взять частные производные как по x, так и по y. Эти частные производные называют вторыми частными производными от функции z=f(x,y), а также частными производными второго порядка от этой функции. Они обозначаются так:

Здесь на первом месте пишется переменная, по которой вначале выносим дифференцирование.

Аналогично от производной берем следующие производные

Производные иназывают смешанными производными.

В примере видим смешанные производные друг другу равны. Это оказывается не случайно. Запишем без доказательства теорему.

ТЕОРЕМА. Смешанные производные и функции z=f(x,y) равны друг другу, если они непрерывны, т.е.

.

Вторые производные от функции z=f(x,y) снова являются функциями от x,y cледовательно, каждую из них можно продифференцировать кА по x, так и по y, получим производные третьего порядка. Продолжая процесс, можем найти производные любого n – порядка. Они обозначаются так:

Можно показать, что смешанная производная не зависит от порядка дифференцирования, если они непрерывны

ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ.

Точка () является точкой максимума функции z=f(x,y), если значения функции в этой точке - значения функции для всех точек (x,y) достаточно близких к точке () и отличных от этой точки. Точка () является точкой минимума функции z=f(x,y), если значение функции в этой точке - значения этой функции в любой точке (x,y) достаточно близкой к точке () и отличной от этой точки. называются ся точками экстремума, а значения

функции в них называются экстремумами. Геометрически так:

НЕОБХОДИМЫЙ ПРИЗНАК ЭКСТРЕМУМА ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ.

ТЕОРЕМА. Если функция z=f(x,y) имеет экстремум в точке (), то частные производные этой функции в точке () обращаются в 0 или не существуют, т.е.

или не существуют.

ДОК-ВО: Дано, что функция z=f(x,y) имеет экстремум в точке (). Зафиксируем y. Пусть всегда и меняется только x. Получаем функцию одного аргумента x, z=f(x,y). Эта функция, по условию теоремы, имеет экстремум в точке x=x, тогда, согласно необходимому признаку экстремума функции одного аргумента, в точке x=xпроизводная этой функции по x, а это будет частная производная по x, т.к. y=const, обращается 0 или не существует. Итак,

или не существует.

Аналогично покажем или не существует.

Например, функция имеет минимум z=0 в точке (0,0).

Частные производные в этой точке

Но из того, что частные производные обращаются в 0 или не существуют в точке () не вытекает, что эта точка есть точка экстремума.

Например, функция , она в начале координат, т.е. в точке (0,0)имеет значение z=0 и ее частные производные обращаются в 0, т.е. при x=0, y=0. Ро начало координат не является точкой экстремума. Значение z=0 экстремальное – min или max: для любой точки окрестности начала координат вида (x,0) функция , начала координат вида (0,y) , т.е. одни значения z>0, другие z<0; z=0 не является ни max, ни min. Сказанное ясно из чертежа. График функции есть гиперболический параболоид.

Точки (), в которых частные производные

Обращаются в 0, или не существуют называются критическими точками функции z=f(x,y).

Критическая точка может и не быть точкой экстремума. На вопрос о том, будет ли она точкой экстремума или нет, отвечает теорема (достаточный признак экстремума функции двух переменных), которую приводим без доказательства.

ТЕОРЕМА. Пусть точка () есть критическая точка функции z=f(x,y)т.е.

Обозначим

Тогда 1) если AC-B>0,точка () является точкой экстремума:

Min при A>0, max при A<0;

2) если AC-B<0, то точка () не является точкой экстремума;

3) если AC-B=0, теорема ответа не дает.

Из изложенного вытекает следующая схема исследования функции на экстремум:

1. Найти критические точки функции z=f(x,y), т.е. точки, в которых обращаются в 0 или не существуют.

2. Каждую экстремальную точку исследовать с помощью достаточного признака экстремума.

3. Найти экстремальные значения функции, подставляя в функцию вместо x,y координаты точки экстремума.

Пример.

1. Критические точки, в которых частные производные обращаются в 0

Чтобы решить систему из двух уравнений, выразим и подставим в первое уравнение:

Последнее уравнение имеет два корня:

в области действительных чисел.

Им отвечают значения x соответственно:

Критические точки: (1,1),(0,0).

Исследуем первую критическую точку с помощью достаточного признака

Имеем: AC-B=27>0.

Точка (1,1) есть точка экстремума, именно точка min, т.к. A=6>0.

Min=-1.

Точка (0,0) -исследовать самостоятельно.

.

ЛЕКЦИЯ 4.

КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ К ПОВЕРХНОСТИ.

Пусть в пространстве oxyz задана поверхность уравнением (1) F(x,y,z)=0, где F(x,y,z) есть известное выражение, зависящее от (x,y,z) (например, уравнение сферы R=1 с центром в начале координат . Здесь F(x,y,z)=.

Прямая называется КАСАТЕЛЬНОЙ к поверхности в ее точке P(x,y,z), если она является касательной в этой точке к некоторой линии, лежащей на поверхности и проходящей через точку P. Но через точку P можно провести очень много линий, лежащих на поверхности. Касательных прямых к поверхности в точке P будет бесконечное множество.

ТЕОРЕМА. Пусть в точке P(x,y,z) поверхности, заданной (1), частные производные не обращаются одновременно в 0. Все касательные прямые к поверхности (1) в точке P лежат в одной плоскости.

Вектор в точке P(x,y,z) перпендикулярен к этой плоскости.

УРАВНЕНИЕ КАСАТЕЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ И НОРМАЛИ К ПОВЕРХНОСТИ.

Пусть поверхность задана уравнением F(x,y,z)=0. На ней возьмем фиксированную точку - заданные числа. В этой точке вычислим частные производные от F по x,y,z. Эти числа будут равны проекциям на оси координат вектора , направленного по нормали к поверхности в точке .

.

Здесь

Проекции есть известные числа.

Зная нормальный вектор и координаты точки , записываем уравнение касательной плоскости

Запишем уравнение нормали к поверхности в точке

Самостоятельно записать уравнение касательной плоскости и нормали к сфере в ее точке P(1,1,2).

ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ.

Дана функция u(P)=u(x,y,z) в пространстве OXYZ.Здесь x,y,z – координаты точки P этого пространства.

Через точку P(x,y,z) проведем ось (т.е. прямую с положительным направлением). Эта ось с осями координат OX,OY,OZ образует углы соответственно