Лекция №8. Пункт 15.2. Дисперсия Дискретной Случайной Величины и её свойства

Пункт 15.2. Дисперсия Дискретной Случайной Величины и её свойства.

Пусть даны две дискретные случайные величины X и Y, которые принимают различные числовые значения, но имеют одинаковые математические ожидания, то есть M(X)=M(Y).

Изобразим X и Y графически:

M(X)

· Х

M(Y)

Y

(рис.1)

Математическое ожидание случайной величины определяет её среднее значение или точку на числовой прямой, вокруг которой разбросаны значения случайной величины.

Дисперсия характеризует степень разброса, значение случайной величины относительно её среднему значению.

Случайная величина X (рис.1) имеет больший разброс значений, чем случайная величина Y, поэтому МО не даёт полной характеристики СВ.

Например:

Пусть математическое ожидание случайной величины M(х)=a

Рассмотрим случайную величину (X-a)²

x	x1	x2	…	xn
p	p1	p2	…	pn
(x-a)^2	(x1-a)^2	(x2-a)^2	…	(xn-a)^2
p	p1	p2	…	pn

Случайная величина (X-a)² – квадрат отклонения случайной величины от её математического ожидания

Определение: Дисперсией случайной величины Х называется МО квадрата отклонения случайной величины от её МО, то есть

n

Д(х)=M(X-a)²=(x₁-a)²p₁+(x₂-a)²p₂+…+(x_n-a)²=∑(x_k-a)²p_k

k=1

Определение: Среднеквадратичным отклонением случайной величины X называется арифметический квадратный корень из дисперсии, то есть Ơ(х)=Д(х)

Пример:

Дискретная случайная величина задана законом распределения.

Найти: а) p₃

б) М(х)

в) D(x)

х
р	0,3	0,4	Р3

а) р₃=1-0,3-0,4=0,3

б) М(x)=2×0,3+3×0,4+4×0,3=3 a=3

в) Д(x)=(2-3)²×0,3+(3-3)²×0,4+(4-0,3)²×0,3=0,3+0,3=0,6

Свойства дисперсии:

1. Пусть Х=const, то есть Х=0

n

Д(c)=∑(c-M(c))²pk=0

k=1

Дисперсия постоянной величины равна 0.

n

2. Д(cX)=∑(сХ_k-ca)²pk=c²∑(x_k-a)²pk=c²D(x)

k=1

Постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии возводя его в квадрат.

3. Дисперсия суммы независимых случайных величин X и Y равна сумме дисперсии

Д(X+Y)=Д(X)+Д(Y)

4. Д(X-Y)=Д(X)+Д(-Y)=Д(X)+(-1)²Д(Y)=Д(X)+Д(Y)

5. Д(X)=M(X-a)²=M(X²-2ax+a²)=M(X²)-2a×M(X)+M(a²)=M(X²)-2a²+a²=

=M(X²)-a²

Д(X)=M(X²)-[M(X)]² - упрощённый способ вычисления дисперсий

Пример:

х^2
р	0,3	0,4	0,3

х
р	0,3	0,4	0,3

М(х²)=4×0,3+9×0,4+16×0,3=9,6

Д(х)=9,6-3²=0,6

§16. Числовые характеристики случайных величин,

Дата добавления: 2014-01-20