Критерий минимального среднего риска означает, что приемник должен выносить оценки l` таким образом, чтобы средний риск был минимален

Чтобы минимизировать средний риск, нужно минимизировать условный средний риск:

. (11)

Минимум среднего риска иными словами требует минимума средней функции потерь. Рассмотрим работу критерия на конкретных примерах.

Известно, что сообщения могут быть непрерывные и дискретные. Предположим, канал связи предназначен для передачи непрерывных сообщений. Для оценки качества такого канала представляет интерес величина отклонения принятого сообщения от переданного. Поэтому введем следующую функцию потерь: . Поскольку l и l’, запишем условный риск (7),

(12)

и найдем то значение l’ при котором удовлетворяется его минимум. Известным путем исследуем функцию Rу на экстремум:

,

(13)

Из последнего выражения следует , то есть принимаемое сообщение должно быть равно математическому ожиданию переданного сообщения m_λ при условии приема у. Такой вывод находится в полном соответствии со здравым смыслом.

Далее рассмотрим дискретный канал связи в котором передаются дискретные сообщения (слова, цифры и т. д.). В выражении среднего риска (5) следует интегрирование заменить суммированием, так как мы имеем дело с конечным множеством сообщений. Тогда

. (14)

зададим функцию потерь в следующем виде: , где

.

Тогда средний риск будет

. (15)

Если потребовать его минимума R, то это означает, что система должна обеспечить минимальной вероятности ошибки, R_min=min p_ош.

В основу критерия минимального среднего риска положен условный закон распределения W(λ/y), который называется апостериорное распределение вероятности (АПРВ). Это условный закон распределения передаваемого сообщения при приеме у(t). Эту функцию должен вычислять приемник, получив сигнал у(t). Задача эта должна выполняться устройством оптимальной обработки (рис. 9)

Рис. 9. Вычисление АПРВ.

При этом есть некоторые сложности. Принимая сигнал в вольтах, УОО должно вычислить по нему функцию совершенно другого аргумента l. Рассмотрим АПРВ и постараемся определить ее через другие функции. Согласно формуле Байеса

или

. (16)

В это выражение входят два безусловных статистических закона: W(l)- передаваемого сообщения и W(y)-закон принимаемого сигнала. Задача приема сигналов особенно интересна тогда, когда система связи работает в наиболее тяжелых условиях, то есть передает наибольшее количество информации. Следовательно, мы должны рассмотреть такой источник, который производит максимальное количество информации, в теории информации доказано что его статистический закон будет равномерным и

, (17)

где l₁ и l₂ – граничные значения сообщения.

Второй безусловный закон W(y) – это «голая» статистика сигнала на входе. В приемнике решающее устройство (см. рис. 8) по вычисленной АПРВ должно произвести выбор в пользу того или иного сигнала. Очевидно, что на это никак не повлияет данный статистический закон, так он одинаков для всего множество сигналов. Таким образом, можно ввести константу и тогда

(18)

Условный статистический закон W(y/λ) называется функция правдоподобия. Он подлежит вычислению вместо функции АПРВ и имеет своим аргументом входной сигнал y(t). Этот закон имеет наиважнейшее значение в критериях оптимального приема.

Критерий максимальной функции правдоподобия.

Один из примеров применения функции правдоподобия это одноименный критерий. Приемник, принимая сигнал y(t), должен выносить решение в пользу того переданного сообщения l_i (сигнала S_i), для которого функция правдоподобия максимальна. Это положение иллюстрируется на рис. 9. Таким образом, приемник должен вычислить функцию правдоподобия или ее какие то показатели (обратите на это внимание!), произвести сравнение их и сделать выбор. Данный критерий позволит определить оптимальный порог приемника. Это граница в пространстве принимаемого сигнала (показана пунктиром на рис. 10).

Рис. 10. Критерий максимальной функции правдоподобия.

Нахождение функции правдоподобия (ФП).

Допустим, передаваемый сигнал представлен детерминированной функцией S(t,l). Помимо его на входе приемника присутствует помеха n(t), которая всегда случайна. Таким образом принимаемый сигнал представляется суммой, .

На рис.11 показан вид временной функции помехи с нулевым средним значением, m_n=0. Можно ввести для нее статистический закон W_п(n).

Рис. 11. Временная функция помехи

Очевидно, что если к помехе прибавить простейший сигнал, например, постоянное напряжение, то течение функции во времени не изменится. Произойдет только ее смещение по оси напряжения (рис.12) на величину сигнала .

Рис.12. Сигнал и помеха.

Теперь обратимся к закону распределения y(t). Очевидно, что он будет такой же как и у помехи, но с ненулевым математическим ожиданием, которое будет равно сигналу . Поэтому общий принцип нахождения ФП

. (19)

Сформулируем правило. Функция правдоподобия будет иметь тот же вид что и статистический закон распределения помехи, в который вводится математическое ожидание равное сигналу.

Предположим, что в приемнике идет цифровая обработка сигнала. Это значит, что принимаемый сигнал представляется множеством отсчетов (выборкой) рис.13.

Рис. 13 Дискретизация принимаемого сигнала.

В момент времени t_h имеем y_h=S_h+n_h. Пользуясь предыдущим выводом, запишем выражение функции правдоподобия при одном отсчете:

. Обозначим H – количество отсчетов в сигнале.

Будем считать, что все отсчеты статистически независимы и тогда полная функция правдоподобия для всего сигнала будет:

. (20)

Дальнейшая конкретизация функции правдоподобия может быть проведена только при задании вида статистического закона помехи. Согласно критерию максимальной функции правдоподобия, приемник должен анализировать эти функции правдоподобия и выбирать максимальную.

Функция правдоподобия при Гауссовской помехе.

Допустим, на приемник воздействует помеха типа «белый шум» с конечной мощностью и Гауссовским законом распределения. Искажения сигнала в приемнике отсутствуют. Найдем функция правдоподобия. Статистический закон помехи при нулевом математическом ожидании будет

, (21)

где s - среднеквадратичное отклонение, √Рпом.

При представлении входного сигнала выборкой имеем закон ФП для одной выборки

, (22)

и для всего сигнала

. (23)

Ранее неоднократно было замечено, что приемник производит выбор «что больше?», W(y/S_i) или W(y/S_j), то есть нет необходимости вычислять их, а достаточно сравнить. В (23) для сравнения достаточно показателей экспонент.

Множитель – одинаковая для всех функций правдоподобия и в сравнении может не участвовать. Остаются для сравнения экспоненты, но вместо них можно сравнить показатели; какой из них меньше, та функция правдоподобия и будет больше. Или чем меньше выражение

, (24)

тем экспонента больше. Множитель 1/2s² исключим из сравнения так как он одинаков для всех сигналов. По этой же причине можно исключить из (24) первую сумму . Таким образом

. (25)

Рассмотрим содержание (25). Первая сумма означает усреднение во времени произведения двух сигналов, обладающих свойством эргодичности. По смыслу есть взаимная корреляция двух сигналов, принятого и опорного, или их скалярное произведение. Вторая сумма – энергия передаваемого сигнала. Таким образом

. (26)

Полученное выражение дает возможность построить оптимальный приемник, работающий по критерию максимальной функции правдоподобия. Рассмотрим это на примере двоичной системы связи.

Допустим, что передаются два сигнала (два сообщения) S₁ и S₂. Приемник должен вычислять для каждого из передаваемых сигналов , сравнить результаты и найти максимальный результат и принять решение в пользу сигнала, для которого получен максимум. Условие принятия решения будет:

в пользу S₁ а наоборот в пользу S₂.

Несложно построить функциональную схему такого приемника, рис. 14. В него входят перемножители, сумматоры, квадраторы, вычитатели. В итоге всей этой обработки будут получены напряжения, которые необходимо сравнить по величине. Этим занимается решающее устройство.

Необходимо заметить, что дискретные значения yh, sh могут быть представлены в цифровой форме. Тогда все эти операции выполняются специализированной микроЭВМ, микропроцессором. Такие микропроцессоры называются сигнальными.

Рис. 14. Схема оптимального приемника.

Решающее устройство, РУ, может быть реализовано несложной схемой на транзисторах, рис. 15.

Рис.15. Решающее устройство

Большее напряжение U_i открывает соответствующий транзистор и он своим эмиттерным током закрывает второй транзистор. На коллекторе открытого формируется низкое напряжение, свидетельствующее о большим напряжении U_i. Схема приемника зависит от вида передаваемых сигналов и в некоторых случаях может быть упрощена. Например, для сигналов с активной паузой, это сигналы частотной и фазовой модуляции их энергии равны E_S1=E_S2 и данные параметры могут быть исключены из сравнения. Сравнению подлежат только взаимные корреляции принимаемого сигнала и передаваемых. Структура приемника для этого случая показана на рис. 16.

Рис. 16. Схема оптимального приемника.

Существует также и непрерывный способ обработки электрических сигналов. Даны непрерывные функции времени y(t) и Si(t). Функции правдоподобия запишутся согласно общему правилу (19) и показатели экспонент будут (y(t)-Si(t))². Сравнение можно выполнить в определенный момент времени t₀, но более объективно сравнивать усредненные значение, перейти к которым можно через интегрирование. Тогда условие выбора будет:

, (27)

при S₁. Структурная схема приемника остается прежней.

Критерий максимальной функции правдоподобия не единственный; существуют и другие предпосылки для решения задачи приема. Рассмотрим их в следующей лекции.

Дата добавления: 2014-01-20