Лекция 20. Основные теоремы о пределах. Понятие о неопределенностях и способах их раскрытия

Упражнения.

1. Доказать, что .

2. Найти пределы:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ; 8)

Ответы: 1) 8; 2) ; 3) 0; 4) 4; 5) 1; 6) 6; 7) 3; 8) 3.

На прошлой лекции мы дали определение бесконечно малой функции. Функция f(x) называется бесконечно малой при или , еслиили . Запишем это определение в другом виде: если , то это значит, что для любого наперед заданного произвольно малого положительного числа найдется такое, что для всех х, удовлетворяющих условию , будет удовлетворяться условие . Теперь обсудим некоторые свойства бесконечно малых функций, позволяющие доказать основные теоремы о пределах.

Свойство 1: Если функция y = f(x) представляется в виде суммы постоянного числа b и бесконечно малой: y = b+ (1), то limy=b (приили ). Обратно, если limy=b, то можно написать y = b+ , где - бесконечно малая.

Доказательство: из равенства (1) следует . Но при произвольном все значения , начиная с некоторого, удовлетворяют соотношению , следовательно, для всех значений y, начиная с некоторого, будет выполняться неравенство . Что и означает, что limy=b.

Обратно: если limy=b, топри произвольном для всех значений y, начиная с некоторого, будет . Но если обозначим y - b= , то следовательно, для всех значений , начиная с некоторого будет выполняться , а это значит, что - бесконечно малая.

Свойство 2: Если стремится к нулю при (или при ) и не обращается в нуль, то стремится в бесконечность.

Доказательство: при любом как угодно большом М>0 будет выполняться неравенство , если только будет выполняться неравенство . Последнее неравенство будет выполняться для всех значений , начиная с некоторого, так как .

Свойство 3: Алгебраическаясумма двух, трех и вообще определенного числа бесконечно малых есть функция бесконечно малая.

Доказательство: пусть , где , . Докажем, что при произвольном, как угодно малом найдется , такое, что при удовлетворении неравенства будет выполняться неравенство . Так как есть бесконечно малая, то найдется такое , что в окрестности с центром в точке а и радиусом будет . Так как есть бесконечно малая, то найдется такое , что в окрестности с центром в точке а и радиусом будет. Возьмем равным меньшему из величин и , тогда в окрестности точки а с радиусом будут выполняться неравенства ; . Следовательно в этой окрестности мы имеем , т.е. , что и требовалось доказать. Аналогично проводится доказательство и для случая, когда , .

Введем понятие ограниченной функции и приведем без доказательства еще два свойства. Функция y=f(x) называется ограниченной в данной области изменения аргумента х, если существует положительное число М такое, что для всех значений х, принадлежащих к рассматриваемой области, будет выполняться неравенство . Если же такого числа не существует, то функция y=f(x) называется неограниченной в данной области. Функция y=f(x) называется ограниченной при , если существует окрестность с центром в точке а, в которой данная функция ограничена.

Свойство 4: Произведение бесконечно малой функции на функцию ограниченную z=z(x) при (или при ) есть бесконечно малая функция.

Свойство 5: Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, предел которой отличен от нуля, есть бесконечно малая функция.

Вычислить предел функции, изучая поведение последовательности значений аргумента и функции, довольно легко для основных функций, таких, как sinx, cosx, tgx, ctgx, arcsinx, arccosx, arctgx, arcctgx в их области определения, поскольку они непрерывны в своей области определения. Таким образом, в области определения предельное значение этих функций равно ее значению при предельном значении аргумента:

.

В тех случаях, когда функция имеет сложный вид, т.е. составлена из нескольких других основных функций при помощи конечного числа алгебраических операций, вычисление значений функции может быть весьма утомительным и установление ее предела непосредственно затруднительным. При нахождении предела таких функций пользуются свойствами пределов функций. Сформулируем их.

1) Предел постоянной равен самой постоянной.

2) Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

3) Пусть функции имеют в точке конечные пределы, соответственно равные . Тогда функции

имеют в точке пределы, соответственно равные

Докажем некоторые из этих свойств из пункта 3.

Теорема 1. Предел алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме пределов этих функций.

Доказательство: пусть lim f(x)=b и limg(x)=c, тогда на основании первого свойства бесконечно малых функций можем написать: f(x)=b+, g(x)=c+, где и - бесконечно малые функции. Значит f(x)+g(x)= (b+c) +(), т.к. (b+c) – есть постоянная величина, а () – величина бесконечно малая, тогда на основании того первого свойства бесконечно малых функций заключаем, что lim(f(x)+g(x))=b+c= lim f(x)+lim g(x), что и требовалось доказать.

Теорема 2. Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций.

Доказательство: пусть lim f(x)=b и limg(x)=c, тогда на основании первого свойства бесконечно малых функций можем написать: f(x)= b+, g(x)= c+, где и - бесконечно малые функции. Значит f(x)*g(x)= . Произведение bc – есть величина постоянная, а - бесконечно малая, на основании свойств бесконечно малых функций. Таким образом, по свойству 1 бесконечно малых функций получаем что lim(f(x)*g(x))=b*c= lim f(x)*lim g(x), что и требовалось доказать.

Теорема 3. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций, если предел знаменателя отличен от нуля.

Доказательство: пусть lim f(x)=b и limg(x)=c, тогда на основании первого свойства бесконечно малых функций можем написать: f(x)= b+, g(x)= c+, где и - бесконечно малые функции. Произведем следующие преобразования: . Дробь есть постоянное число, а дробь - бесконечно малая, на основании свойств бесконечно малых функций. Таким образом, по свойству 1 бесконечно малых функций получаем что lim(f(x)/g(x))=b/c= lim f(x)/lim g(x), что и требовалось доказать.

В тех случаях, когда либо , либо , либо оба вместе равны , или в частном , применение указанных правил не дает возможности найти предел составной функции. Рассмотрим пример. Пусть

.

Возьмем теперь

.

Рассмотрим и такой вид функций:

,

.

Такие ситуации, где значение предела зависит от конкретного вида функций участвующих в выражении, называются непределенностями.

Предел разности двух стремящихся к функций, значение которого зависит от конкретного вида функций, называется неопределенностью вида .

Предел частного двух функций, стремящихся к нулю, значение которого зависит от конкретного вида функций, называется неопределенностью вида .

Аналогично определяются и другие неопределенности:.

Пример 2. Найти .

Решение. Воспользоваться равенством здесь нельзя, так как при функция не определена (при выражение дает неопределенное выражение ). Значит, нужно анализировать поведение функции при .

Функция представляет собой дробь, у которой при и числитель, и знаменатель одновременно стремятся к нулю. Но стремление числителя дроби к нулю ведет к уменьшению этой дроби, а стремление знаменателя к нулю – наоборот, к ее увеличению. Какой фактор перевесит – пока неясно, в разных случаях бывает по-разному. То есть в данном пределе имеется неясность (неопределенность) типа . Кстати, это не единственный возможный тип неопределенности, но о прочих типах – позже.

Неопределенность, встретившуюся при вычислении предела, нужно раскрывать. То есть как-то так преобразовать выражение под знаком предела, чтобы неопределенность исчезла и предел стал очевиден. В частности, раскроем нашу неопределенность:

Пример 3. Найти .

Решение. Здесь при и числитель, и знаменатель дроби стремятся к бесконечности. Но стремление числителя дроби к бесконечности ведет к неограниченному росту дроби, а стремление знаменателя дроби к бесконечности, наоборот, ведет к неограниченному уменьшению дроби (к стремлению ее к нулю). Эти два фактора, как и в предыдущем примере, работают друг против друга, приводя к неопределенности типа . Раскроем её:

.

Неопределенности типа и принадлежат к числу наиболее часто встречающихся при вычислении пределов неопределенностей. Но есть как уже говорилось есть и другие типы неопределенностей. Всего этих типов семь:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; (1)

5) ; 6) ; 7).

Эти записи нужно понимать не буквально, не как арифметические операции с символами 0 и ¥, а как предельные ситуации при вычислении пределов. Для сравнения приведем другие предельные ситуации, неопределенностями не являющиеся:

1) ; 2) ; 3) ; 4)

(; ; ; )

5) ; 6) .

Если при вычислении предела функции возникает какая-либо из неопределенностей (1), ее нужно как-то раскрывать. Если неопределенности нет, значит, ситуация ясная, и результат следует записать сразу.

Пример 4. Найти .

Решение.

Пример 5. Найти .

Решение.

Помимо теорем о пределах функций, непосредственно позволяющих вычислять пределы, интерес представляют еще ряд теорем о пределах. Они используются далее при выводе замечательных пределов и при исследовании функций. Приведем их без доказательства.

Теорема 4. Если между соответствующими значениями функций u=u(x), z=z(x), v=v(x) выполняются неравенства , при этом u(x) и v(x) при (или при ) стремятся к одному и тому же пределу b, то z=z(x) при (или при ) стремится к тому же пределу.

Теорема 5. Если при (или при ) функция y принимает неотрицательные значения и при этом стремится к пределу b, то b есть неотрицательное число: .

Теорема 6. Если между соответствующими значениями двух функций u=u(x), v=v(x), стремящихся к пределам при (или при ), выполняется неравенство , то имеет место .

Теорема 7. Если функция возрастает v=v(x), т.е. всякое её последующее значение больше предыдущего, и если она ограничена, т.е. , то эта функция имеет предел lim v=a, где .

Дата добавления: 2014-01-20