Аппроксимация по Кауэру. Эллиптический фильтр

Аппроксимация по Чебышеву второго рода

Ранее при аппроксимации АЧХ многочленами Чебышева задавалась допустимая неравномерность АЧХ фильтров в полосе пропускания при помощи параметра. Однако можно также задать требуемый уровень подавления в полосе заграждения при помощи параметра, тогда получим фильтры Чебышева второго рода или как их еще называют инверсные фильтры Чебышева. Аппроксимирующая функция в этом случае задается выражением, а квадрат модуля АЧХ представляется в виде:

(14)

Как уже было сказано, задает уровень подавления в полосе заграждения фильтра согласно (4). На рисунках показаны аппроксимирующая функция и квадрат модуля АЧХ фильтра Чебышева второго рода порядка при (уровень подавления в полосе заграждения равен). Обратите внимание, что аппроксимирующая функция показана в линейном масштабе.

Рисунок 7: Аппроксимирующая функция фильтра Чебышева второго рода 4-го порядка

Рисунок 8: Квадрат модуля АЧХ фильтра Чебышева второго рода 4-го порядка

Если нормированный фильтр Чебышева первого рода на частоте «пропускает» сигнал, т.к. Близко к единице (0 дБ), то нормированный фильтр Чебышева второго рода на частоте «подавляет» сигнал, т.к.. Фильтры Чебышева второго рода целесообразно использовать для расчета режекторных (полосозаграждающих) фильтров с заданным коэффициентом подавления.

Можно заметить, что АЧХ фильтра Чебышева первого рода носит колебательный характер в полосе пропускания и максимально-гладкая в полосе заграждения, в то время как АЧХ фильтра Чебышева второго рода наоборот колеблется в полосе заграждения и максимально-гладкая в полосе пропускания. Однако есть еще один класс фильтров АЧХ которых носит колебательный характер как в полосе пропускания, так и в полосе подавления. Это эллиптические фильтры, или как их еще называют фильтры Кауэра (в отечественной литературе часто их еще называют фильтрами Золотарева-Кауэра). Аппроксимирующая функция фильтров Кауэра представляет собой эллиптическую дробно-рациональную функцию, зависящую от параметра выражения (5). Квадрат модуля АЧХ фильтра Кауэра представляет собой:

(15)

Вид аппроксимирующей функции эллиптического фильтра 4-го порядка и квадрата модуля АЧХ показаны на рисунках 9 и 10. Параметр (неравномерность АЧХ фильтра в полосе пропускания), а параметр задает уровень подавления в полосе заграждения равный. Обратите внимание, что аппроксимирующая функция эллиптического фильтра показана в логарифмическом масштабе.

Рисунок 9: Аппроксимирующая функция эллиптического фильтра 4-го порядка

Рисунок 10: Квадрат модуля АЧХ эллиптического фильтра 4-го порядка

Если увеличивать до бесконечности уровень подавления в полосе заграждения, т.е. устремить к нулю, то дробно-рациональная эллиптическая функция переходит в многочлен Чебышева (подробнее об этом читай здесь), а фильтр Кауэра соответственно в фильтр Чебышева первого рода.

Обобщим все вышесказанное. Фильтр Баттерворта обладает самой широкой переходной полосой среди всех фильтров, но у него максимально-гладкая АЧХ. Внесение в АЧХ фильтра Баттерворта колебаний приводит к фильтрам Чебышева, переходная полоса которых Уже чем у фильтра Баттерворта. Так равноволновые колебания в полосе пропускания приводят к фильтрам Чебышева первого рода, а равноволновые колебания в полосе заграждения к фильтрам Чебышева второго рода. Внесение равноволновых колебаний как в полосу пропускания, так и в полосу заграждения АЧХ приводит к эллиптическому фильтру с минимальной переходной полосой. При этом, как мы заметили, для разной аппроксимации задаются различные исходные данные для расчета. Это хорошо видно из таблицы ниже:

Тип фильтра	Порядок фильтра	Неравномерность в полосе пропускания	Уровень подавления в полосе заграждения
Баттерворта	Да	Нет	Нет
Чебышева первого рода	Да	Да	Нет
Чебышева второго рода	Да	Нет	Да
Эллиптический	Да	Да	Да

Кроме того, можно рассчитать любой фильтр путем задания «коридора АЧХ» и расчета порядка фильтра через уравнение (6). Решим уравнение (6) для заданного коридора АЧХ для каждого из фильтров.

Дата добавления: 2014-01-20