Сравнение порядков фильтров при различных способах аппроксимации АЧХ. Решение уравнения порядка фильтра

Порядок фильтра Баттерворта рассчитывается из уравнения:

(16)

Прологарифмируем правую и левую части уравнения и получим:

(17)

Порядок фильтра Чебышева как первого рода, так и второго рассчитывается из уравнения:

(18)

Откуда можно выразить:

(19)

Обратите внимание, что под арккосинусами оба отношения больше единицы, тогда арккосинус аргумента большего единицы возвращает комплексное значение, при этом известно, что арккосинус любого комплексного аргумента равен:

(20)

Если вещественное, но больше единицы, то арккосинус чисто мнимый и равен:

(21)

Окончательно для фильтра Чебышева первого рода можно записать:

(22)

Очень часто вместо выражения (22) в литературе приводят следующую формулу, которая также является справедливой:

(23)

где - арккосинус гиперболический.

Порядок эллиптического фильтра можно рассчитать из уравнения:

(24)

где - полный эллиптический интеграл, а - полный комплиментарный эллиптический интеграл (подробнеездесь), а и рассчитываются согласно (5).

В таблице ниже приведены порядки фильтров Баттерворта, Чебышева и Кауэра для некоторых параметров коридора АЧХ.

Параметры коридора АЧХ	Требуемый порядок фильтра
						Баттерворта	Чебышева	Эллиптический (Кауэра)
1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0	1.5 1.4 1.3 1.2 1.1 1.05	0.8 0.85 0.87 0.9 0.92 0.95	0.2 0.1 0.07 0.05 0.02 0.01	0.66667 0.71429 0.76923 0.83333 0.90909 0.95238	0.15309 0.06229 0.03977 0.02425 0.00852 0.00329	5 9 13 21 50 118	3 5 6 8 13 21	2 3 4 4 6 8

Из таблицы очень хорошо видно, что сужение переходной полосы, когда приближается к и уменьшение неравномерности в полосе пропускания с одновременным ростом подавления в полосе заграждения приводит к очень резкому росту требуемого порядка фильтра Баттерворта. При этом порядок фильтра Чебышева растет медленнее, однако и ему далеко до эллиптического фильтра, который обеспечивает минимальный порядок при заданном коридоре АЧХ. Из таблицы хорошо видно, что переход от фильтра Баттерворта к фильтру Чебышева позволяет сократить порядок фильтра более чем в 5 раз, а использование эллиптического фильтра более чем в 10 раз! Так вместо фильтра Баттерворта 118 порядка можно поставить эллиптический фильтр всего 8-го порядка без ухудшения характеристик фильтра.

Выводы

Таким образом, можно подвести итог. В данной статье мы рассмотрели постановку задачи расчета аналогового нормированного ФНЧ, произвели анализ различных способов аппроксимации АЧХ фильтра: аппроксимация по Баттерворту, по Чебышеву и по Кауэру. Получили решения уравнения порядка фильтра при заданном коридоре АЧХ для всех перечисленных способов аппроксимации фильтра. Проанализировав решение уравнения порядка фильтра для различных способов аппроксимации мы выяснили, что использование эллиптического фильтра, позволяет минимизировать порядок фильтра при заданном коридоре АЧХ.

4. Расчет аналогового нормированного фильтра нижних частот Баттерворта

Содержание

Введение. Исходные данные для расчета фильтра Баттерворта. Основные соотношения при аппроксимации АЧХ фильтра

Порядок расчета фильтра Баттерворта

Нули и полюса фильтра Баттерворта

Расчет передаточной характеристики фильтра Баттерворта

Пример расчета фильтра Баттерворта

Выводы

Дата добавления: 2014-01-20