Уменьшение эффекта Гиббса при использовании оконного сглаживания

Простота и высокая вычислительная эффективность метода частотной выборки делает его очень привлекательным для практического использования, однако на выходе получается фильтр с очень высоким уровнем боковых лепестков в полосе заграждения и неравномерностью в полосе пропускания, что привело к необходимости доработки метода частотной выборки для практического применения.

Отметим, что такие боковые лепестки возникают ввиду резкого перехода от частоты пропускания к частоте подавления и возникают из-за интерполяции дискретизированного комплексного коэффициента передачи фильтра. Для того, чтобы уменьшить уровень боковых лепестков, необходимо сгладить переход между полосой пропускания и заграждения как это показано на рисунке 3.

Рисунок 3: Сглаживание перехода между полосой пропускания и заграждения

Исходный комплексный коэффициент передачи идеального фильтра (красная АЧХ) сворачивается с комплексным коэффициентом передачи (зеленая АЧХ) и получается сглаженная АЧХ (синяя), у которой нет резкого перехода. Мы искусственно вводим еще один комплексный коэффициент передачи, который можем менять, и у нас появляется возможность регулировки уровня боковых лепестков нашего фильтра, рассчитанного на основе частотной выборки. Очевидно, что идеальная АЧХ при сглаживании искажается и появляется переходная полоса между полосой пропускания и заграждения, но это искажение мы можем регулировать при помощи, в отличии от искажений возникающих в результате эффекта Гиббса. Функцию можно считать спектральным окном, а свертку называют оконным сглаживанием.

Мы уже однажды прибегали к оконному сглаживанию, когда рассматривали спектральный анализ ограниченных во времени сигналов. По сути в данном случае имеем дело с тем же самым анализом ограниченного во времени сигнала, в качестве импульсной характеристики КИХ фильтра, чей спектр представляет собой АЧХ КИХ фильтра.
Свертка комплексного коэффициента и спектрального окна в частотной области, при переходе во временную область, согласносвойствам преобразования Фурье, соответствует произведению импульсной характеристики и оконной функции,. При этом ранее мы рассматривали множество различных оконных функций, позволяющих обеспечить различное подавление боковых лепестков и различное расширение переходной полосы. Посмотреть вид различных оконных функций можно вэтом приложении.

Сделаем очень важное замечание. Все рассмотренные ранее оконные функции являются симметричными, т.е.

(1)

Это означает что импульсная характеристика

(2)

также будет соответствовать фильтру с линейной ФЧХ, поскольку свойства симметрии и антисимметрии, необходимые для обеспечения линейной ФЧХ не нарушатся (подробнее об этом мы говорили в этой статье).

На рисунке 4 показаны АЧХ фильтра нижних частот рассчитанного методом частотной выборки без оконного сглаживания (красный график) и с окном Хэмминга (синий) и Блэкмана (черный).

Рисунок 4: АЧХ КИХ фильтра при использовании оконного сглаживания

Из рисунка 4 отчетливо видно, что применение оконных функций обеспечивает снижение уровня боковых лепестков, уменьшает неравномерность в полосе пропускания, но также приводит к расширению переходной полосы. Важно отметить, что точкой пересечения АЧХ при использовании оконного сглаживания и без него является точка по уровню.

Дата добавления: 2014-01-20