Несобственные интегралы

Формула парабол (Симпсона)

Формула трапеций

ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Вычисление площади поверхности вращения

Пусть кривая АВ является графиком функции у = f (x)≥0, где x [ a; b ], f ʹ (x) С[ a; b ].

Требуется найти площадь S поверхности вращения кривой АВ вокруг оси Оx.

Вычисление площади на основе метода дифференциалов.

1. Через точку x [ a; b ] проводим плоскость Π₁ (Π₁ Ох). Пересечение тела плоскостью – окружность радиусом у = f (x).

2. Часть поверхности, лежащей слева от Π₁ является функцией от x:

s = s (x) (s (a)=0, s (b)= S).

3. Дадим аргументу x приращение

∆ x = dx, x +∆ x [ a; b ].

Через точку x +∆ x проводим плоскость Π₂ (Π₂ Ох). Функция s (x) получает приращение ∆ s.

4. Находим дифференциал площади ds, заменяя образованную между Π₁ и Π₂ фигуру усеченным конусом, образующая которого равна dl, а радиусы оснований – у и у + dу.

Площадь боковой поверхности равна

ds = π(у + у + dу) dl = 2π уdl + π dуdl,

где dуdl – бесконечно малая высшего порядка, чем ds.

Тогда

ds = 2π уdl =,

(-длина дуги).

5. Площадь поверхности вращения:

. (1)

Пусть кривая АВ задана параметрически

t [α;β],

где x (t), y (t) С[α;β], xʹ (t), yʹ (t) С[α;β]; x (α)= a, y (β)= b.

В этом случае

. (2)

Пример 8. Найти площадь поверхности шара радиуса R.

Решение _▼ Поверхность шара образована вращением полуокружности

, x [– R; R ]

вокруг оси Ох.

По формуле (1)

.

^▲

На основе определенного интеграла находятся:

- работа переменной силы;

- путь, пройденный телом;

-давление жидкости на вертикальную пластину;

-координаты центра тяжести плоской фигуры.

Пусть f (x) С[ a; b ]. Требуется вычислить определенный интеграл

,

численно равный площади соответствующей криволинейной трапеции.

1. Отрезок [ a; b ] разбиваем на n равных частей длиной

.

Абсциссы точек деления a = x ₀, x ₁, x ₂,…, x_n = b:

x_i = a + hi.

Значения функции в точках деления: y ₀ = f (a), y ₁ = f (x ₁), y ₂ = f (x ₂), …, y_n = f (b).

2. Кривую y = f (x) заменяем ломаной линией, звенья которой соединяют концы ординат y_i и y_{i +1},.

3. Площадь криволинейной трапеции приближенно равна сумме площадей обычных трапеций с основаниями y_i, y_{i +1} и высотой h:

или

. (1)

Выражение (1) называется формулой трапеций.

Пусть

-

- абсолютная погрешность приближения по формуле (1).

Известно, что

,

где.

Для линейной функции y = kx + b абсолютная погрешность R_n =0.

Если график функции y = f (x) заменить дугами парабол между точками y_{i –1}, y_i, y_{i +1}, то получится более точная формула вычисления интеграла.

1. Найдем площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху параболой

y = ax ² + bx + c,

сбоку – прямыми x = – h, x = h, снизу – отрезком [– h; h ].

Пусть парабола проходит через три точки

М₁(– h; у ₀), М₂(0; у ₁), М₃(h; у ₂),

где у ₀= ah ² – bh + c, у ₁= c, у ₂= ah ² + bh + c. (2)

Площадь равна

Выражаем S через h, у ₀, у ₁, у ₂. Из (2) следует:

c = у ₁,.

Тогда

. (3)

2. Находим формулу парабол для вычисления интеграла.

а). Отрезок [ a; b ] разбиваем на 2 n равных частей длиной

.

Абсциссы точек деления a = x ₀, x ₁, x ₂,…, x _{2 n –2}, x _{2 n –1}, x _{2 n} = b:

x_i = a + hi.

Значения функции в точках деления: y ₀ = f (a), y ₁ = f (x ₁), y ₂ = f (x ₂), …, y _{2 n –2} = f (x _{2 n –2}), y _{2 n –1} = f (x _{2 n –1}), y _{2 n} = f (b).

б). Заменяем каждую пару соседних элементарных криволинейных трапеций с основаниями, равными h, одной элементарной параболической трапецией с основанием, равным 2 h.

На отрезке [ x ₀; x ₂] парабола проходит через три точки (x ₀; y ₀), (x ₁; y ₁), (x ₂; y ₂). По формуле (3):

,

,

…

.

в). Находим приближенное значение интеграла:

или

. (4)

Выражение (4) называется формулой парабол (или формулой Симпсона).

Абсолютная погрешность приближения по формуле (4) оценивается соотношением

,

где.

Формула (4) дает точное значение интеграла, если

y = a ₀ x + a ₁,

y = a ₀ x ² + a ₁ x + a ₂,

y = a ₀ x ³ + a ₁ x ² + a ₂ x + a ₃,

так как.

Пример 1. Вычислить, если отрезок [0;2] разбивается на 4 части.

Решение _▼ f (x)= x ³.

a = x ₀ =0, y ₀ =0;

,;

x ₂ =1, y ₂ =1;

,;

b= x ₄ = 2, y ₄ = 8.

а). По формуле трапеций

.

б). По формуле Симпсона

.

Точное значение интеграла

.

^▲

Определенный интеграл

,

где [ a; b ]–ограниченный промежуток, f (x) С[ a; b ], называется собственным интегралом.

Дата добавления: 2014-01-20