Точка перегиба графика функции

.

Уравнения Лагранжа в случае потенциальных сил. Циклические координаты и циклические интегралы

В случае потенциальных сил обобщенные силы определяются через потенциальную энергию системы соотношениями:

.

Тогда уравнения Лагранжа

перепишутся в виде:

.

Введем функцию Лагранжа соотношением: .

Учитывая, что потенциальная энергия есть функция только обобщенных координат:

,

имеем:

.

Если в функцию Лагранжа не входят явно обобщенных координат , то возможно частичное интегрирование дифференциальных уравнений движения механической системы. Соответствующие обобщенные координаты называются циклическими. Для них:

.

Тогда откуда находим общих, так называемых циклических интегралов системы дифференциальных уравнений движения механической системы:

В точке х=0 произошел перегиб графика, т.е. переход из выпуклости вниз в выпуклость вверх. Точка с координатами (0;0) является точкой перегиба графика функции.

Определение: Точка графика дифференцируемой функции абсцисса, которой является одновременно концом интервала выпуклости вниз и концом интервала выпуклости вверх, называется точкой перегиба графика этой функции.

Геометрический смысл: В точке перегиба касательная к графику, с одной стороны, находится выше графика кривой, а с другой – ниже его, т.е. пересекает кривую в этой точке.

Необходимое условие существования точки перегиба: Пусть функция на интервале имеет непрерывную производную первого и второго порядка тогда, если точка с абсциссой является точкой перегиба графика функции, то вторая производная в этой точке равна нулю.

Достаточное условие выпуклости графика функции: Пусть функция на интервале имеет производную первого и второго порядка тогда, если производная второго порядка при переходе через х₀меняет знак, то х₀ является абсциссой точки перегиба графика данной функции.

Дата добавления: 2014-01-20