Основные понятия и модели статистического анализа

Предсказание

Предсказание связано с использованием построенных моделей для получения прогноза развития исследуемых явлений и поведения объектов. При осуществлении предсказания указывается возможное будущее значение предсказуемой величины и интервал, в который случайная прогнозируемая величина попадает с заданной вероятностью. Эта вероятность и соответствующий ей интервал называется доверительными интервалом и вероятностью.

Основными понятиями статистического анализа являются:

1. Гипотеза;

2. Решающая функция и решающее правило;

3. Генеральная совокупность и её свойства;

4. Выборка из генеральной совокупности;

5. Оценка характеристик генеральной совокупности;

6. Доверительный интервал;

7. Доверительная вероятность;

8. Тренд;

9. Статистическая взаимосвязь.

Гипотеза. При проведении любых исследований, прежде всего, делаются некоторые

предположения о свойствах изучаемых объектов. Такие предположения в статистическом анализе принято называть гипотезами. По своей природе гипотезы имеют априорный смысл, то есть предположения делаются до начала наблюдений, либо на основе их некоторого предварительного количества. Имеется в виду, что эксперименты, подтверждающие или опровергающие эту гипотезу, будут проведены позже. Результат проверки гипотезы является апостериорным, то есть послеопытным.

Решающая функция и решающее правило. Для проверки справедливости или несправедливости выдвинутой гипотезы разрабатываются специальные решающие правила, которые задают алгоритм проведения наблюдений и обработки их результатов.

При обработке результатов вычисляются некоторые функции от наблюдений, которые

часто называются статистическими. Так если X1, X2, …, Xn – некоторые экспериментальные значения, имеющие количественную природу, то функция от наблюдений - статистика. В тех случаях, когда статистика предназначена для проверки справедливости выдвинутой гипотезы, она называется решающей функцией. При этом она полностью определяется решающим правилом и стремлением получить наиболее достоверный ответ на вопрос о справедливости гипотезы.

Как правило наибольшую определенность имеет результат проверки справедливости гипотезы, когда ответом является вывод о противоречивости гипотезы наблюдаемым данным. Типичная формулировка такого исхода имеет вид: результаты наблюдений противоречат первоначальной гипотезе с уравнением значимости:

Р α =1- α

0≤α<1

Чем ближе Р α к 1, тем более определённым (достоверным) является сформулированный

вывод. Вероятность Р α - принято называть доверительной вероятностью.

Понятие генеральной совокупности используется для обозначения исследуемого объекта в целом во всей совокупности его свойств. Обычно исследуемые объекты достаточно сложны и могут быть в бесконечно большом числе состояний. Таким образом, генеральная совокупность – есть нечто такое, что во всём многообразии его проявлений наблюдать невозможно. При этом почти всегда необходимо исследовать именно свойства генеральной совокупности. Эти свойства формулируются (описываются) на абстрактном уровне, например, генерируемое объектом наблюдение является значением случайной величины с некоторым законом распределения вероятности. Легко понять, что такое описание является гипотезой, так как имеет априорную природу.

Выборка из генеральной совокупности. В результате наблюдений за исследуемым объектом можно получить только ограниченное число значений регистрируемой величины, выбор которой обусловлен решающим правилом. Этот ограниченный набор значений называется выборкой из генеральной совокупности. Для обозначения генеральной совокупности обычно используются греческие буквы: ε, X1, …, Xn, где ε - это генеральная совокупность, а X1, …, Xn – некоторые идентификаторы, которым в результате изменений присваиваются конкретные числовые значения. Только выборочные значения из генеральной совокупности Хi, i=1..n, могут быть использованы для проверки справедливости гипотез о некоторых характеристиках, описывающих свойства генеральной совокупности. Свойства любых объектов возможно описать только с помощью ограниченного количества понятий и формул, которые выражают некоторые совокупные свойства. Этот ограниченный набор понятий и формул называют характеристиками генеральной совокупности. Очевидно, что это совпадает с понятием модели.

Оценка характеристик генеральной совокупности. Используя выборку можно с некоторой точностью определить эти характеристики генеральной совокупности. В этом случае говорят об оценивании характеристик, а полученные в результате значения называют оценками. Значения оценки никогда не совпадает с точными значениями гипотетических характеристик.

Доверительный интервал. Так как по определению свойства генеральной совокупности являются неизвестными, то для описания свойств генеральной совокупности естественно использовать вероятностные понятия, в частности саму генеральную совокупность в некоторых случаях естественно отождествлять со случайной величиной, а выборку – с конкретными её значениями, которые она принимает в результате проведения опытов с номерами 1, 2, …, n.

В некоторых случаях имеется возможность указать на числовой оси интервал, (возможно не сплошной) такой, что выполняется требование:

P{ξ∈ [a, b]} = P α,

где P α = 1- α;

Р – вероятность события, заключающаяся в том, что случайная величина принимает значения из заданного интервала [a, b];

Pα - конкретное число, удовлетворяющее условию:

0≤ Pα ≤ 1,

а интервал [a, b] называется доверительным интервалом Dα = [a, b].

Допустим, что в результате вычислений получено некоторое число g(Xr), тогда имеет смысл говорить о том, что «истинное» значение оцениваемой характеристики лежит впределах этого интервала с вероятностью Рα1.

Чтобы погрешности оценивания были наименьшими, необходимо использовать статистики с наименее возможным диапазоном изменения значений.

Дата добавления: 2014-01-20