Метод Гаусса-Зейделя

Метод Гаусса-Зейделя является итерационным методом.

Рассмотрим самое обычное СЛАУ:

(1)

Выполним следующие преобразования.

Умножим обе части уравнения на транспонированную матрицу слева (напомним, что умножение матриц некоммутативно!):

(2)

Введём следующие обозначения:

После этого будем заниматься решением следующей СЛАУ, которая эквивалентна исходной:

(3)

Такая СЛАУ называется нормальной, так как матрица C в данном случае будет симметрична относительно главной диагонали. Это свойство нормальности позволяет привести СЛАУ к следующему виду:

(4)

где (5)

и (6)

Вот эти соотношения и являются теоретической базой метода Гаусса-Зейделя. Теперь организуем итерационный процесс на основе этих соотношений.

Обозначим начальное приближение для решения СЛАУ вида .

Вычислим новое приближение по следующим формулам в соответствии с вышеописанной теоретической базой:

(7.1)

(7.2)

(7.3)

Обратите внимание, что в формировании первого соотношения участвует только первое уравнение, в формировании второго – два первых уравнения и так далее. Поэтому этот метод является достаточно экономичным. Соотношение в общем виде выглядит так:

(7.i)

А последнее вычисление имеет вид:

(7.n)

После реализации этих n соотношений у нас оказывается вычисленным очередное приближение . Чтобы вычислить следующее приближение , нужно повторить вычисления.

Существуют два критерия останова итерационного процесса метода Гаусса-Зейделя – максимальное количество итераций и заданная точность .

Справедливо также то, что итерационный процесс Гаусса-Зейделя для приведённой СЛАУ, эквивалентной нормальной, всегда сходится к единственному решению этой системы при любом выборе .

Теперь в полной мере запишем алгоритм:

ШАГ 1.

Задать – точность вычислений.

ШАГ 2.

Вычислить ; ; нормальной системы (3).

ШАГ 3.

Приведение (3) к виду (4)-(6).

ШАГ 4.

Осуществления итерационного процесса по формулам (7).

ШАГ 5.

Вычисление

ШАГ 6.

Если ,
то , Stop
иначе переход к шагу 4.

Задача 4.2.

Решение.

Теперь приведём СЛАУ к нормальному виду:

Расставляем индексы:

Возьмём начальное приближение :

Ответ:

Дата добавления: 2014-01-20