Теорема Хаутуса

Критерий управляемости Хаутуса

Вопросы для самоконтроля

ТЕОРЕМА

Критерий управляемости Калмана для систем со скалярным управлением

Если имеется только один управляющий параметр u, то управление является скалярной величиной. Размерность вектора управления, который фигурирует в вышеприведённой теореме, равна единице.

В случае скалярного управления система дифференциальных уравнений имеет вид

,

где

постоянная квадратная матрица системы,

- n-мерный вектор-столбец пространства состояний,

- n-мерный вектор дозатор.

Матрица управляемости Калмана W в этом случае будет квадратной и состоящей соответственно из n столбцов

Доказательство теоремы, по-прежнему, справедливо. Условие управляемости системы,, в случае квадратной, размера, матрицы эквивалентно условию

Итак, для систем со скалярным управлением справедлива формулировка теоремы Калмана.

Оглавление

Линейная система со скалярным управлением, описываемая системой линейных дифференциальных уравнений

является вполне управляемой тогда и только тогда, когда определитель матрицы управляемости W отличен от нуля.

1. Дайте определение управляемой системы.

2. Что такое матрица управляемости?

3. Дайте определение ранга матрицы.

4. Сформулируйте критерий управляемости Калмана.

5. Сформулируйте критерий управляемости Калмана для систем со скалярным управлением.

Оглавление

ЛЕКЦИЯ 4.
УПРАВЛЯЕМЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ.
КРИТЕРИЙ УПРАВЛЯЕМОСТИ ХАУТУСА

Критерий управляемости Хаутуса для систем дифференциальных уравнений, разрешенных относительно старших производных, эквивалентность критерия Калмана и критерия Хаутуса, критерий управляемости Хаутуса для систем второго порядка

Рассмотрим линейную систему уравнений. В предыдущей лекции для систем такого вида был доказан критерий управляемости Калмана, согласно которому, система вполне управляема, только тогда, когда ранг матрицы управляемости равен размерности системы. То есть

В настоящей лекции рассмотрим другой критерий управляемости. Сформулируем теорему.

Линейные системы являются управляемыми тогда и только тогда, когда

,

для всех корней характеристического уравнения матрицы А

Утверждение

Теорема Калмана и теорема Хаутуса эквивалентны.

Пусть критерий Калмана выполнен. Покажем тогда, что критерий Хаутуса также выполняется.

Предположим обратное. Пусть

Оглавление

.

Из предположения следует, что строки матрицы линейно зависимы, и, значит, найдется равная нулю линейная комбинация строк этой матрицы с ненулевыми коэффициентами. Возьмем ненулевой вектор

.

Составим линейную комбинацию строк матрицы, и приравняем её нулю

.

В формуле справа стоит нулевая - мерная строка. Очевидно, что равенство нулю строки означает, что равны нулю все ее элементы. Тогда, из соотношения следует, что

.

.

Таким образом, вектор есть левый собственный вектор матрицы А, соответствующий собственному значению матрицы А

.

Умножим слева матрицу управляемости на вектор-строку

.

Принимая во внимание, получим

.

Тогда из соотношения следует, что

Оглавление

Следовательно, строки матрицы управляемости линейно зависимы. Но это противоречит тому, что критерий Калмана для системы

выполнен. Значит, предположение о ранге матрицы было ошибочно.

Итак, показано:

КРИТЕРИЙ КАЛМАНА КРИТЕРИЙ ХАУТУСА

Обратное утверждение тоже выполняется (без доказательства).

Дата добавления: 2014-01-20