Устойчивый узел

Седло

Если характеристическое уравнение имеет два действительных корня различных знаков, то есть,, особая точка называется седло.

Это выполняется, если

,

величина коэффициента значения не имеет. В частном случае, когда

корни характеристического уравнения равны

.

Интегрирование уравнений фазовых траекторий при условии определяет семейство гипербол, симметричных относительно осей

Фазовые кривые для различных начальных условий приведены на рисунке 7. Цифрой 3 на рисунке обозначены прямые

,

представляющие частный случай фазовых траекторий, соответствующий нулевому значению константы в уравнениях. Двигаясь по этим траекториям, изображающая точка может попасть в начало координат только за бесконечное время. Эти прямые разделяют характерные области движения.

Рис. 7 Особая точка типа седло

Оглавление

Если коэффициенты характеристического уравнения

,

тоже будет седло, только фазовые траектории уже не будут симметричны относительно осей. Симметрия относительно центра сохранится. Решение уравнения для случая двух действительных корней характеристического уравнения имеет вид

,

и, в случае корней разных знаков, будет содержать возрастающую и убывающую экспоненты.

Седло является неустойчивой особой точкой.

Если характеристическое уравнение имеет два действительных отрицательных корня, то имеет место устойчивый узел.

Для возникновения узла необходимо и достаточно, чтобы были выполнены условия

Фазовый портрет устойчивого узла приведен на рисунке 8. Цифрами 3 и 4 на рисунке 8 обозначены фазовые траектории, уравнения которых имеют вид

,

Изображенная на рисунке 8 прямая 4 соответствует меньшему по модулю, (то есть большему по величине), корню характеристического уравнения. Все фазовые траектории, приближаясь к особой точке, касаются прямой 4.

Решение уравнения для случая двух действительных отрицательных корней характеристического уравнения имеет вид, и содержит две убывающие экспоненты. Скорость убывания решения определяется величиной меньшего по модулю, (то есть большего по величине), отрицательного корня. Графики зависимости, (соответствующие траекториям 1 и 2 на рисунке 8), приведены на рисунке 9.

Оглавление

Рис. 8 Фазовый портрет устойчивого узла

Рис. 9 Зависимость в случае устойчивого узла

Устойчивый узел является асимптотически устойчивой особой точкой.

Замечание

Приведенный в лекции обзор типов особых точек не полный. Не упомянуты неустойчивый узел, вырожденные узлы.

Оглавление

Дата добавления: 2014-01-20