Теорема о свойствах бинарного отношения

Утверждение. Пусть – бинарное отношение на множестве А. Тогда справедливы следующие соотношения

1. рефлексивно ;

2. симметрично;

3. транзитивно;

4. антирефлексивно;

5. антисимметрично;

6. полно.

Доказательство.

1.

рефлексивно, ;

1.

рефлексивно.

2.

симметрично .

.

. Значит, .

2.

. симметрично.

3.

транзитивно и .

:(), .

3.

(), транзи-

тивно.

4.

антирефлексивно ():;

4.

: антирефлексивно.

5.

антисимметрично ():()и .

.

5.

.

антисимметрично.

6.

полно (, ): или

.

6.

.

Еще несколько примеров бинарных отношений.

Рефлексивное отношение. Отношение подобия треугольников, заданное на множестве всех треугольников евклидовой плоскости: каждый треугольник подобен себе самому.

Антирефлексивное отношение. Отношение перпендикулярности прямых, заданное на множестве всех прямых евклидовой плоскости: никакая прямая не перпендикулярна себе самой.

Симметричное отношение. Отношение “проживать в одном доме” заданное на множестве всех жителей некоторого города: если a живет в одном доме с b, то b живет в одном доме с a.

Антисимметричное отношение. Отношение “меньше”, заданное на множестве действительных чисел: если a < b, то b ³ a.

Транзитивное отношение. Отношение “больше”, заданное на множестве действительных чисел: если a > b и b > c, то a > c.

Полное отношение. Отношение “быть старше”, заданное на множестве родных братьев и сестер некоторой семьи: если а ¹ b, то либо а старше b, либо b старше а (на несколько лет или минут).

Дата добавления: 2014-01-20