Преобразование Лапласа. Тема: Операционное исчисление

Лекция 13

Тема: Операционное исчисление.

Определение 1. Функцией – оригиналом называется комплексная функция f(t) действительного аргумента t, удовлетворяющая следующим условиям:

1) f(t) непрерывна вместе со своими производными достаточно высокого порядка на всей оси t, кроме отдельных точек, в которых f(t) или её производные терпят разрыв 1-го рода, причем на каждом конечном интервале оси t таких точек имеется лишь конечное число.

2) При t<0, f(t)=0

3) f(t) возрастает не быстрее показательной функции, т.е. существуют такие постоянные, M, , , что для всех t выполняется неравенство

Число называется показателем роста f(t), для ограниченных функций =0.

Простейшей функцией оригиналом является единичная функция

Если функция удовлетворяет условиям 1) и 3), но не удовлетворяет условию 2), то произведение удовлетворяет всем условиям 1), 2), 3). Например, оригиналами будут функции и т.д. Для простоты записи множитель будем опускать, условившись, что все функции f(t), при t<0 равны 0. Например, вместо будем писать 1, вместо будем писать и т.д.

Определение 2: Изображением функции f(t) по Лапласу называют функцию комплексного переменного , определенную отношением:

Фразу: «функция f(t) имеет своим изображением F(p)» будем записывать символом или .

Пример 1: . Действительно 1.

Пример 2: Имеем:

Непосредственно из свойств интеграла получаем:

1. Свойство линейности.

, где

Пример 3:

Дата добавления: 2014-01-20