Лекция 15. Лекция №6. Несовместные системы линейных уравнений и метод наименьших квадратов

Лекция №6. Несовместные системы линейных уравнений и метод наименьших квадратов

§ 1. Задача о проекции вектора и перпендикуляре к нему

Тема: Ряды Фурье ля 2 периодической функции. Теорема Дирихле. Разложение 2 е периодической функции в ряд Фурье.

15.1 Ряды Фурье для 2 периодической функции. Пусть на [a,b] задана система функций

Определение 1. Система функций называется ортогональной на [a,b], если,.

Предварительно докажем, что тригонометрическая система 1, Cosx, Sinx, Cos2x, Sin2x,…Cosnx, Sinnx,… ортогональна на отрезке [ ].

1) =0, n = 1,2,…

2) =0, n = 1,2,…

3) =0, n

4) =0

5) =0, n

Вычислим еще следующие интегралы:

= = n = 1,2,…

=.

Пусть дан тригонометрический ряд:

который сходится к S(x) должна быть 2 – периодической.

Будем предполагать, что равенство (1), умноженное на cosnx или sinnx, можно почленно интегрировать.

В результате получим:

, в силу ортогональности тригонометрической системы.

;,, n=1,2,…

,,, n=1,2,…

Таким образом, зная сумму тригонометрического ряда, можно найти коэффициенты тригонометрического ряда.

Пусть дана 2 периодическая функция f(x) для которой существуют интегралы:

,,, n=1,2,…

Функции f(x) можно поставить в соответствие тригонометрический ряд:

f (x)

(2)

Ряд (2) называется рядом Фурье функции f(x),

, n=1,2,…,, n=1,2,…

называются коэффициентами ряда Фурье. Предварительно дадим два определения.

Определение 2. Функция f(x) называется кусочно - непрерывной на отрезке, если данный отрезок можно разбить на конечное число интервалов, на каждом из которых функция является непрерывной.

Определение 3. Функция f(x) называется кусочно - монотонной на отрезке, если отрезок можно разбить на конечное число интервалов, на каждом из которых функция не убывает либо не возрастает.

Дата добавления: 2014-01-20