Сферична система координат

Координат

Циліндрична система

У просторі

Прямокутна система координат Декарта

Нехай дано прямокутну систему координат Декарта XYZ (рис. 1.8).

Площини ХОУ, У0Z і Х0Z називаються координатними площинами. Координатна вісь ОХ називається віссю абсцис, ОУ - віссю ординат, 0Z — віссю аплікат. Відповідно називаються і координати точок: х — абсциса, у — ордината,

z — апліката. Координатні площини розбивають простір на вісім октантів (рис 1.9)

Координати точок, розміщених в октантах, задовольняють умови:

Упорядкована трійка координатних осей, які не лежать в одній площині, називається правою, якщо з кінця додатного напряму третьої осі найкоротший поворот від першої осі до другої видно про­ти руху годинникової стрілки. У противному разі система координат називається лівою (рис. 1.10).

Якщо в прямокутній системі координат ХУZ замість перших двох координат х і у взяти поляр­ні координати, а третю залишити без змін, то дістанемо циліндрич­ну систему координат. Координати точки Р простору в цій системі записуються у вигляді Р (,, z).

Далі при побудові систем коор­динат масштаб не зображатимемо. Звичайно на всіх осях координат задають один і той самий масштаб.

Знайдемо залежності між прямокутними декартовими коор­динатами точки Р (х, у,z) і її циліндричними координатами Р (,, z). (рис. 1.11). Враховуючи формули полярної системи координат, маємо

Де 0 < +; 0 < 2; z < +

У тривимірному просторі ХУZ візьмемо точку Р і через цю точку та вісь аплікат проведемо площину. Нехай відстань точки Р від початку координат (полюса) дорівнює r, двогранний кут між координатною площиною ХOZ і площиною Z0Р дорівнює, а кут між віссю 0Z, і променем ОР дорівнює. Упорядкована трійка чисел (r,,) однозна­чно визначає положення точки Р у просторі ХУZ. Ці числа називають сферичними координатами точки Р і записують Р(r,,)

Знайдемо залежність між прямокутними декартовими координа­тами і сферичними координатами точки. З прямокутного трикутни­ка OQР (рис. 1.11) знаходим

З прямокутного трикутника дістанемо

Тоді

де 0 r <+; 0 < 2; 0 0 <

Ці формули визначають взаємно однозначну відповідність між прямокутними декартовими системами і сферичними координатами точок простору XYZ

Якщо координати точки Р (рис. 1.7) отримуються, в результа­ті перетину координатних осей X₁ Х₂, Х₃ з площинами, то координати називаються прямолінійни­ми. Якщо за­мість площин через точку Р проводити за якимось законом поверхні, то отримані координати називаються криволінійними. Прикладом останніх є циліндричні, сферичні координати.

Як було показано, між множиною дійсних чисел і множиною то­чок одновимірного простору існує взаємно однозначна відповідність. Те саме стосується двовимірного і тривимірного простору. Точками двовимірного простору є упорядковані пари дійсних чисел, а точка­ми тривимірного простору — упорядковані трійки чисел. Природно ввести поняття n -вимірного простору.

n -Вимірним (скінченновимірним) простором або простором n вимірів називають множину упорядкованих сукупностей дійсних чисел (x₁, х₂… х_n) в обраній системі координат і позначають Rⁿ.

Множина Rⁿ називається ще афінним простором n вимірів.

Елемент (x₁, x₂… x_п) множини Rⁿ де x₁,х₂ …х_n — задані дійсні числа, називають точкою n -вимірного простору, а числа — коор­динатами цієї точки і записують

Р (x₁ х_2… х_n). Якщо точка Р на­лежить простору Rⁿ то пишуть Р є Rⁿ, або

(х₁, х₂,…х_n) є Rⁿ.

Зазначимо, що окремими випадками n -вимірного простору є одновимірний простір R¹, двовимірний простір R² і тривимірний простір R³, які можна зобразити геометрично. Далі простори R¹, R², R³ на­зиватимемо наочними просторами. Для n -вимірного простору, де n > 4, ця наочність зникає. Отже, зрозуміло як ввести поняття кута між двома осями в тривимірному просторі, а як це зробити для n -вимірного простору, поки що невідомо (взагалі це можна зробити за допомогою по­няття вектора).

Дата добавления: 2014-01-20