Арифметические операции в системе чисел

Посмотрим, как проводятся расчеты в другой системе чисел. Пусть основанием системы чисел является цифра 6. Вначале рассмотрим операции с «однозначными» числами. (Однозначными в данном случае будут числа 0, 1, 2, 3, 4, 5.) Этим основным операция нужно учиться, как таблице умножения.

Сложение. Если одним членом некоторой суммы является 0, то сумма равна второму члену. Поэтому суммирование с нулем не рассматривается в силу очевидности.

Построим таблицу сложения однозначных чисел. В первом столбце и первой строке записаны цифры, составляющие алфавит шестеричной системы, кроме 0; на пересечении i -ой строки и j -го столбца находится сумма a_i и a_j, представленная в шестеричной системе.

Получается следующая таблица:

+

Например, сумма 3 и 5 находится на пересечении строки с цифрой 3 и столбца с цифрой 5: 3₍₆₎ + 5₍₆₎ = 12₍₆₎.

А теперь посмотрим, как осуществляется суммирование многозначных чисел в той же системе счисления с основанием 6.

Определим сумму 315 + 543. Пусть эти числа записываются в виде:

315 = 3´100 + 1´10 + 5 и 543 = 5´100 + 4´10 + 3.

(Здесь числа 10 и 100 обозначают числа в шестеричной системе чисел.)

Учитывая коммутативность и ассоциативность операции сложения, и используя дистрибутивное свойство, получим форму:

315 + 543 = (3 + 5) ´100 + (1 + 4) ´10 + (5 + 3).

Найдем значение последнего сложения из таблицы: 5 + 3 = 12 = 1´10 + 2. Откуда:

315 + 543 = (3 + 5) ´100 + (1 + 4 + 1) ´10 + 2.

Рассмотрим опять последний член, содержащий операцию сложения. Эта сумма составляется на основе таблицы: (1 + 4) + 1 = 5 + 1 = 10, поэтому:

315 + 543 = (3 + 5 + 1) ´100 + 0´10 + 2.

Если еще раз посмотреть последний член, содержащий операцию сложения: 3 + + 5 +1 = 3 + 10 = 13 = 1´10 + 3, то получится выражение:

315 + 543 = 1´1000 + 3´100 + 0´10 + 2 = 1203.

Процессом сложения доказывается, что применяется такой же метод, как и при сложении в десятичной системе чисел, поэтому операция сложения здесь также может быть осуществлена с помощью записи отдельных чисел друг под другом:

+543

Процесс сложения идет таким образом: 5 + 3 = 12 (из таблицы): записывается 2, а 1 в старшем разряде суммируется с предыдущим столбцом; 1+4+1=10: записывается 0, 1 суммируется со столбцом, стоящем слева; 1+3+5=13: записывается 3, и, поскольку нет больше столбцов, слева записывается 1.

Легко видеть, что и сложение большего количества членов, и операция вычитания осуществляются подобно тому, как это делается в десятичной системе чисел.

Умножение. В таблице умножения в системе счисления с основанием 6 представлены произведения однозначных чисел. Умножение на 0 и здесь не следует отдельно записывать, так как в случае, когда один из сомножителей 0, то и результат всего произведения будет 0. Аналогично не нужно приводить произведения, одним из сомножителей которых является 1, так как в этих случаях результат произведения всегда равняется другому сомножителю.

Таблица умножения в системе счисления с основанием 6 имеет следующий вид:

´

Также при пересечении соответствующей строки и соответствующего столбца можно получить результат произведения. Например, 3´5 = 23. Действительно:

3´ 5 = 5 + 5 + 5 = 5 + (1 + 4) + (2 + 3) =

= (5 + 1) + (4 + 2) + 3 = 10 + 10 + 3 = 23.

С помощью таблицы умножения также может быть определено произведение многозначных чисел. Посмотрим, например, как определяется произведение двух шестеричных чисел 315 и 543. Разложим оба числа на множители:

315´543 = (3´100 + 1´10 + 5) (5´100 + 4´10 + 3).

На основе дистрибутивного свойства операции данное произведение разлагается таким образом:

315´543 = (3´100 + 1´10 + 5)´5´100 + (3´100 + 1´10 + 5)´4´10 + (3´100 + +1´10+5)´3.

В конечном итоге следует вычислить три произведения, а затем полученные произведения суммировать.

Рассмотрим сначала последнее слагаемое. Используя дистрибутивное и ассоциативное свойство, а также коммутативность операции умножения, получим следующее выражение:

(3´100 + 1´10 + 5) ´3 = (3´3) ´100 + (1´3) ´10 + (5´3).

Определив отдельные произведения из таблицы умножения, получим:

315´3 = 13´100 + 3´10 + 23 = 1300 + 30 + 23 = 1353.

В предпоследнем члене приходится определить результат умножения 315´4´10. Произведение первых двух сомножителей 2112, все произведение 2112´10 = 21120. Таким же образом определим первое слагаемое: 243100. Сложение отдельных произведений осуществляется по способу, приведенному выше:

[phone]  

Знаки 0 в конце отдельных чисел могут быть пропущены, но оговаривается, что каждое частное произведение записывается левее на одно место. Если записать все произведение, получится следующее:

315*543 2112 2431

Метод осуществляется автоматически, как и в десятичной системе чисел. Отдельно подсчитываются все «частные произведения», и затем они суммируются. Вначале осуществляется умножение на 3: 5´3 = 23, записывается 3, остается 2; 1´3 = 3, прибавляя остаток 3 + 2 = 5, записывается и остается 0; 3´3 = 13 и остатка нет; поскольку это было последнее число, то записывается 13. Затем проводится умножение на 4: 5´4 = 32, записывается 2, но на одно место левее и остается 3; 1´4 = 4, прибавляя остаток 4+3 = 11, записывается и остается 1; 3´4 = 20, прибавляя остаток 20 + 1 = 21, и так как произведение закончилось, все число записывается. Наконец, проводится умножение на 5: 5´5= = 41, записывается цифра 1 — опять на одно место левее — записывается и остается 4; 1´5 = 5, прибавляя остаток: 5 + 4 = 13, записывается 3, остается 1; 3´5 = 23, прибавляя остаток: 23+1 = 24 и, поскольку произведение закончено, все число записывается.

После этого следует осуществить сложение частных произведений. Последняя цифра записывается без изменения. Делая шаг на одну позицию влево: 5+2=11, записывается последняя цифра 1 и остается 1. Делая шаг влево еще раз на одну позицию, 3+1+1=5, прибавляя остаток: 5 + 1 = 10, записывается 0, остается 1. Шагая влево опять на одну позицию: 1+1+3=5, прибавляя остаток: 5+1=10, записывается 0 и остается 1. Опять делаем шаг влево на одну позицию: 2+4=10, прибавляя остаток: 10+1=11, записывается 1, остается 1. Наконец, прибавляя остаток к первому знаку: 2+1= 3, записывается 3.

Значения произведений и сложений однозначных чисел выписываются из таблиц, приведенных выше.

Деление как повторное вычитание. Операция деления может быть выполнена в виде повторного вычитания. Пусть делится, например, число 3440314 на 512. (Числа шестеричной системы.) Вместо того чтобы брать в качестве делимого числа 512, 2´512, ¼, целесообразно рассматривать числа 512, 5120, 51200, 512000, 5120000, ¼ Как видно, последнее число уже больше, чем делимое, но предпоследнее — еще меньше. Поэтому число 3440314 делится на 512000; итак, вычитание осуществляется не шагами в 1, а шагами в 1000. Поскольку в делителе стоит 0 на последних трех местах, то неважно, что стоит на последних трех местах делимого; проще всего будет записать туда также знаки 0. Следовательно, сейчас число 3440000 делится на 512000. На самом деле рассматривается деление 3440:512, так как сокращение на 1000 не меняет результата частного. Выполняя операцию деления с остатком, получим:

3440 - 4´512 = 3440 - 3252 =144.

Таким образом, 3440314 - 4´512000 = 3440000 – 3252000 + 314 = 144000 + 314 = =144314.

Теперь уже только число 144314 приходится делить на 512. Так как данное число меньше, чем 512000, оно делится на 51200, точнее, делится даже не число 144314, а число 144300. Подобно предыдущему случаю, вместо настоящего деления проводится деление числа 1443 на 512. Из операции деления с остатком получится результат: 1443 –2´512 = 1443 – 2´512 = 15, то есть:

144314 – 2´51200 = 144300 – 142400 + 14 = 1500 + 14 = 1514.

Далее число 1514 делится на 5120, точнее, делится число 1510, т.е. вместо этого число 151 делится на 512. Очевидно, результатом деления с остатком является равенство: 151 = 0´512 + 151. На основе данного рассуждения этот шаг описывается следующим образом:

1514 – 0´5120 = 1510 – 0 + 4 = 1514.

(По существу, данный шаг пришлось делать только с целью обозначения деления на 5120.)

Наконец, делением числа 1514 на 512 определяется равенство: 1514= 2´512+50. Покажем запись всей суммарной процедуры деления. При этом не учитываются цифры, вместо которых записывался знак 0 на соответствующем шаге процедуры.

3440314: 512 = 4202 –3252 –1424 – 0 –1424 50

Число, стоящее на правой стороне деления, получено следующим образом. На основе ассоциативности операции умножения, вычитаемые на отдельных шагах записываются так: 512´4000, 512´200 и 512´2. Следовательно, частным является именно число 4202, и если всегда только первый знак записывается, то путем записи друг за другом отдельных, полученных таким образом знаков, получится именно частное.

Как было упомянуто выше, шестеричная система была выбрана потому, что число 6 не слишком большое и не слишком маленькое. Если основное число слишком большое, то и таблицы операций получаются слишком большие, следовательно, слишком большое количество основных операций необходимо знать наизусть. Если основное число слишком маленькое, то отдельные числа будут «слишком длинные». В таком случае 10, как основное число, является довольно удачным выбором.

Контрольные задания

1. Существует ли система счисления, в которой 8+1=10 и 3´4=13?

2. Перевести число 198₍₁₀₎ в восьмеричную систему счисления.

3. Перевести число 1AA₍₁₆₎ в восьмеричную систему счисления.

4. Перевести число 216₍₁₀₎ в двоичную систему счисления.

5. Найти сумму всех целых двоичных чисел в диапазоне от 1110₍₂₎ до­ 10001₍₂₎ включительно.

6. Перевести число 1BE7₍₁₆₎ в восьмеричную, двоичную и десятичную системы счисления.

7. Число 20,45₍₁₀₎ перевели в четверичную систему счисления. Найти 1999 цифру после запятой. Указать период.

8. Составить таблицу умножения в системе счисления с основанием 2, 3, 4, 5, 8.

9. Выполнить операции в заданных системах счисления: 21₍₃₎´22₍₃₎; 31₍₄₎´23₍₄₎; 100011₍₂₎´110011₍₂₎;

10.Выполнить операции деления в заданных системах счисления с точностью до третьего знака после запятой: 21₍₃₎:22₍₃₎; 31₍₄₎:23₍₄₎; 1110011,1101₍₂₎:11001₍₂₎.

11.Выполнить операции в заданных системах счисления: 221₍₃₎ - 22 ₍₃₎; 231₍₄₎+23₍₄₎; 11011₍₂₎ ´10011₍₂₎.

12.Выполнить операции в заданных системах счисления: 21₍₃₎ ´12₍₃₎; 31₍₄₎ - 123₍₄₎; F1ABA3011₍₁₆₎ - DFAEE19₍₁₆₎; F5₍₁₆₎ ´31; AB₍₁₆₎ ´92_(16).

13.Найти наибольшее число из заданных: AB₍₁₆₎; 252₍₈₎; 2223₍₄₎; 10101101₍₂₎; 20102₍₃₎.

14.Найти наименьшее число из заданных: AB₍₁₆₎; 251₍₈₎; 2222₍₄₎; 10101101₍₂₎; 20100₍₃₎;

15.Найти наибольшее число из заданных: B,12₍₁₆₎; 13₍₈₎; 23,03₍₄₎; 1011,01₍₂₎; 101,22₍₃₎.

Дата добавления: 2014-01-20