Решение дифференциальных уравнений в MathCad

Для решения дифференциального уравнения или системы дифференциальных уравнений n-го порядка в MathCad их необходимо привести к системе n дифференциальных уравнений первого порядка вида

с начальными условиями

Например, дифференциальное уравнение второго порядка , можно свести к двум уравнениям первого порядка, обозначив, , а . Тогда получим систему

Для решения такой системы дифференциальных уравнений используется встроенная функция rkfixed(y, x₀, x_k, n, F), которая возвращает полученную методом Рунге-Кутта таблицу решения системы на интервале от x₀ до x_k с начальными условиями, заданными вектором y. При этом правые части системы уравнений записаны в векторе F.

Например, пусть дана система дифференциальных уравнений

с начальными условиями

а параметр =0,1. Требуется найти решение данной системы дифференциальных уравнений на интервале .

Решение данной задачи в MathCad приведено на рис. 8.3.

При вводе матрицы F правых частей следует учитывать, что нумерация элементов вектора начинается с нуля, а не с единицы. Т.о. y₀ соответствует y₁ в условии задачи, а y₁ - y₂.

Приближенное решение системы, получаемое данным методом, представляется табличной функцией, заданной в 100 точках (n=0, 1, …, 99). При этом первый столбец матрицы решения Y соответствует x, второй - переменной y₁, а третий - y₂.

Рис. 8.3 Решение системы дифференциальных уравнений

В версии MathCad 2000 имеется ряд дополнительных функций для решения систем дифференциальных уравнений. Приведем некоторые из них [1].

· Rkadapt (y, x₀, x_k, n, F) - возвращает матрицу решения, полученного методом Рунге-Кутта с переменным шагом.

· Bulstoer (y, x₀, x_k, n, F) - реализует метод Булирша-Штера.

· odesolve (x, b, steps) - решение системы при заданных начальных условиях, конце интервала интегрирования b и числе шагов steps. При этом сами дифференциальные уравнения с начальными условиями задаются в блоке, начинающемся с директивы Given.

Дата добавления: 2014-01-20