Определение нормированного пространства

Введение.

В предыдущей лекции мы рассмотрели линейные пространства. Следующим нашим шагом будет введение нормированных пространств. Понятие модуля вещественного числа, комплексного числа или вектора позволяет ввести расстояние, или, как принято говорить, метрику, на числовой оси, в комплексной плоскости или в пространстве векторов соответственно. Наличие метрики, в свою очередь, позволяет рассмотреть важнейшие вопросы о сходимости последовательностей и рядов, о предельном переходе, о непрерывности и дифференцируемости функций и т. п.

Определение 1. Линейное пространство называется нормированным пространством, если каждому поставлено в соответствие неотрицательное число (норма) так, что выполнены следующие три аксиомы:

1) в том и только в том случае, когда

2);

3).

Таким образом, норма — это определенная всюду на функция с неотрицательными значениями и со свойствами 1)—3). Заметим, что аксиома 1) называется условием невырожденности нормы, аксиома 2)— условием однородности нормы, а аксиома 3)— неравенством треугольника. В случае векторов аксиома 3) означает, что длина стороны в треугольнике не пре­вышает суммы длин двух других его сторон. Как следствие отсюда имеем: длина любой стороны треугольника больше или равна разности длин двух других его сторон. Соответствующее неравенство для нормы имеет вид

Докажем это неравенство. По неравенству треугольника имеем

откуда; меняя ролями и, получим

Оба последних неравенства в совокупности дают неравенство (1).

В нормированном пространстве можно ввести расстояние между любыми двумя его элементами по формуле

Упражнение 1. Показать, что расстояние удовлетворяет следующим трем свойствам:

a) тогда и только тогда, когда;

b);

c)

Определение 2. Множество называется метрическим пространством, если каждой паре его элементов и поставлено в соответствие вещественное число, удовлетворяющее аксиомам a), b), c). Таким образом, метрические пространства можно считать обобщениями нормированных пространств.

Рассмотрим в нормированном пространстве множество, где — фиксированная точка, а. Множество называется открытым шаром с центром в, радиуса. Аналогично, множество

называется замкнутым шаром (с центром в, радиуса ). Множество

называется сферой. Очевидно,

Упражнение 2. Покажите, что является выпуклым функционалом в и, следовательно, согласно §10 лекции №1, шары и выпуклы. Будет ли выпуклым множеством в?

Далее будет приведено много примеров нормированных пространств. Пока же мы ограничимся простейшими примерами.

Пример 1. В вещественном линейном пространстве -мерных столбцов введем норму

Аксиомы нормы 1) и 2) выполняются тривиально. Неравенство треугольника (аксиома 3)), известное из курса линейной алгебры, будет доказано позже в более общем случае.

Полученное нормированное пространство в линейной алгебре известно как евклидово пространство и обозначается.

Упражнение 3. Как выглядят, и в.

Пример 2. Пространство. Введем в норму

Проверим аксиомы нормы

1) ‑ это очевидно. Пусть, т.е.; но тогда все и.

2), откуда вытекает однородность нормы.

3), т.е.. Переходя в этом неравенстве слева к по, получим неравенство треугольника.

Упражнение 4. Как выглядят в, и при

Замечание. Множество в называют обычно ‑ мерным кубом. Это оправдывает обозначение для нормы ‑ “норма кубическая”. Множество в называют – мерным шаром (‑ “норма сферическая”).

Дата добавления: 2014-01-20