Определение евклидова пространства

Введение

Одной из основных задач преподавания математики в средней школе является задача освоения учащимися математических методов вычисления длины, углов, площадей, объемов и других характеристик геометрических объектов. Одним возможных вариантов использования вычислений характеристик элементов абстрактного линейного пространства, по аналогии с характеристиками геометрических объектов, является введение такого понятия, как скалярное произведение двух векторов (элементов линейного пространства) и. В соответствии с определением справедлива следующая формула

, (3.1)

которая по известным длинам и векторов и и углу между ними позволяет найти их скалярное произведение. Из курса векторной алгебры известно, что если векторы и заданы своими координатами и, то скалярное произведение может быть вычислено по формуле

. (3.2)

Заметим, что если известны координаты векторов и, то, используя формулу (3.2), можно вычислить их скалярное произведение и квадрат длины (как скалярное произведение на самого себя.) Зная же скалярное произведение векторов и длины каждого из них, мы сможем с помощью формулы (3.1) найти угол между векторами.

Используя понятие координат вектора абстрактного линейного пространства, повторим только что приведенное для векторов рассуждение, т. е. сначала укажем правило отыскания «скалярного произведения» векторов и линейного пространства по их координатам (понятие «длины» вектора линейного пространства определяется как корень квадратный из скалярного произведения вектора на самого себя), а затем с помощью формулы (3.1) получим определение «угла» между векторами. Такое формальное определение понятия длины вектора и угла между векторами линейного пространства, т. е. выбор метрики, может показаться, на первый взгляд, бесполезным. Однако оно оказывается весьма плодотворным в самых различных разделах математики и ее приложениях. Ниже мы введем термин «евклидово пространство», под которым будем понимать линейное пространство, в котором определена операция «скалярное произведение» двух векторов, удовлетворяющая некоторым условиям.

Определение 1. Вещественное линейное пространство называют евклидовым, если в нем определена операция, ставящая в соответствие любым двум векторам и вещественное число, называемое скалярным произведением и обозначаемое, и при этом выполнены следующие условия:

1.;

2., для любого вектора;

3., для любого числа;

4., если.

Рассмотрим примеры.

Пример 1. В векторной алгебре для множества свободных векторов было определено скалярное произведение двух векторов, как произведение их длин на косинус угла между ними. Было доказано, что таким образом определенное скалярное произведение обладает всеми свойствами 1 – 4 определения евклидова пространства.

Пример 2. В линейном пространстве одностолбцовых матриц можно ввести скалярное произведение векторов

по формуле

(. (3.3)

На это определение можно смотреть как на обобщение формулы, выражающей скалярное произведение векторов в векторной алгебре, заданных своими координатами. Нетрудно проверить непосредственно, что все 1 – 4 условия выполнены.

Пример 3. В линейном пространстве непрерывных функций на можно ввести скалярное произведение функций и по формуле

Выполнение условий 1 – 4 легко проверить, применяя основные правила интегрирования. Пространство, с таким образом введенным скалярным произведением обозначается через.

Дата добавления: 2014-01-20