Геометрическая вероятность

Лекция 2

Тема: ”Основные теоремы теории вероятностей”

Одним из недостатков классического определения вероятности является то, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным количеством исходов. В некоторых случаях можно воспользоваться понятием геометрической вероятности.

Пусть на отрезок MN наудачу брошена точка. Это означает, что точка обязательно попадет на отрезок MN ( событие Ω ) и с равной возможностью может совпасть с любой точкой этого отрезка. При этом вероятность попадания точки на любую часть отрезка MN не зависит от расположения этой части на отрезке и пропорциональна его длине. Тогда вероятность того, что брошенная точка попадет на отрезок CD ( событие А), являющийся частью отрезка MN, вычисляется по формуле:

, (1)

где l – длина отрезка CD, а L – длина отрезка MN.

Можно дать аналогичную постановку задачи для точки, брошенной на плоскую область G и вероятности того, что она попадет на часть этой области g:

, (2)

где s – площадь части g области G, а S – площадь всей области G.

В трехмерном случае вероятность того, что точка, случайным образом расположенная в теле, попадет в его часть, задается формулой:

, (3)

где v – объем части тела, а V – объем всего тела.

Пример 1. Два лица X и Y условились встретиться в определённом месте между двумя и тремя часами дня. Пришедший первым ждет другого в течение 10 минут, после чего уходит. Чему равна вероятность встречи этих лиц, если каждый из них может прийти в любое время в течение указанного часа независимо от другого?

Решение. Будем считать интервал с 14 до 15 часов отрезком [0, 1] длиной в 1 час. Пусть ξ («кси») и η(«эта») — моменты прихода X и Y — точки отрезка [0, 1]. Все возможные результаты эксперимента — точки квадрата со стороной 1: .

Можно считать, что эксперимент сводится к бросанию точки наудачу в квадрат. При этом благоприятными исходами являются точки множества A:

(10 минут = 1/6 часа). Попадание в множество A наудачу брошенной в квадрат точки означает, что X и Y встретятся. Тогда вероятность встречи равна

.

2.Теорема сложения вероятностей.

Теорема 1 (теорема сложения вероятностей). Вероятность P(А + В) суммы событий А и В равна

Р (А + В) = P (А) + P (В) – P (АВ). (4)

Доказательство. Докажем теорему сложения. Пусть п – число возможных исходов опыта, т_А – число исходов, благоприятствующих событию А, т_В – число исходов, благоприятствующих событию В, а т_АВ – число исходов опыта, при которых происходят оба события (то есть исходов, благоприятствующих произведению АВ). Тогда число исходов, при которых имеет место событие А + В, равно т_А + т_В – т_АВ (так как в сумме (т_А + т_В) число т_АВ учтено дважды: как исходы, благоприятные А, и исходы, благоприятные В).

А В

т_А т_АВ т_В

Следовательно, вероятность суммы можно определить по классической формуле:

что и требовалось доказать.

Следствие 1. Если события А и В несовместны, то т_АВ = 0, и, следовательно, вероятность суммы несовместных событий равна сумме их вероятностей:

Р (А + В) = P (А) + P (В). (5)

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1:

P (А) + P () = 1 или P (А) = 1- P () (6)

Доказательство. Так как А и образуют полную группу, то одно из них обязательно произойдет в результате опыта, т.е. их сумма А +есть достоверное событие. Следовательно, Р (А + ) = 1. Но, так как А и несовместны, из (5) следует, что Р (А +) = P (А) + P (). Значит, P (А) + P () = 1, что и требовалось доказать.

Замечание. В ряде задач проще искать не вероятность заданного события, а вероятность события, противоположного ему, а затем найти требуемую вероятность по формуле (6).

Пример 2. Из урны, содержащей 2 белых и 6 черных шаров, случайным образом извлекаются 5 шаров. Найти вероятность того, что вынуты шары разных цветов.

Решение. Событие , противоположное заданному, заключается в том, что из урны вынуто 5 шаров одного цвета, а так как белых шаров в ней всего два, то этот цвет может быть только черным. Множество возможных исходов опыта найдем по формуле сочетаний:

,

а множество исходов, благоприятных событию – это число возможных наборов по 5 шаров только из шести черных: .

Тогда, , а .

Дата добавления: 2014-01-20