Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат




Напомним, что полярная система координат задаётся точкой 0 (полюсом) и лучом 0Р (полярой). Точка М в полярной системе координат задаётся двумя числами ρ и ϕ, где ρ – расстояние от точки М до полюса, а ϕ – угол между полярой и радиус-вектором точки М. Пусть даны декартова система координат с полюсом в точке 0 и полярой 0Р, совпадающей с положительной полуосью 0Х. В этом случае формулы перехода от декартовой системы координат к полярной имеют вид:

{X= ρcos(ϕ)

{Y= ρsin(ϕ)

Далее имеем:

Где D* отображается в D, а якобиан отображается

I = = = ρ

При вычислении интегралов не обязательно изображать на чертеже область D*.

Рассмотрим это более подробно.

Будем предполагать, что область не содержит внутри полюс О и любой луч, который исходит из полюса пересекает границу не более, чем в двух точках

Теперь рассмотрим случай, когда полюс внутри области интегрирования D, а любой луч, который исходит из полюса, пересекает в одной точке

 

y

 

Пример 4. Вычислить объем тела, ограниченного плоскостью X0Y и поверхностью z= 1-x2-y2.

Поверхность z= 1-x2-y2 пересекается с плоскостью X0Y (z=0) по окружности 1-x2-y2 =0; x2+y2=1. Данное тело проецируется на плоскость X0Y в круг с центром в начале координат радиуса 1. Следовательно:

При вычислении данного интеграла удобно перейти к полярным координатам.

Так как внутренний интеграл не содержит , то внешний интеграл по можно вычислять сразу.

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-20; Просмотров: 602; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.01 сек.