Теорема 3

Свойства выпуклого множества

1. Теорема 1

Пересечение выпуклых множеств является выпуклым множеством.

Доказательство:

Пусть Х пересечение множеств и, где и выпуклые множества.

Докажем, что Х выпуклое множество.

Пусть точки и Х. Докажем, что отрезок, соединяющий эти точки, тоже принадлежит множеству Х.

т.к. и Х => и Х1

Х1 выпуклое множество => отрезок [, ] Х1

т.к., Х => они Х2

Х2 выпуклое множество.

[, ] Х2.

Отсюда следует, что отрезок [, ] Х1∩Х2=Х

Теорема доказана.

2. Теорема 2.

Объединение выпуклых множеств не всегда является выпуклым.

3. Свойство определённости.

Рассмотрим двухмерное пространство, в котором имеется некоторое замкнутое и выпуклое множество Х и некая точка d (,), где d Х, тогда найдётся прямая

+ = с такая, что будут выполняться неравенства

Гиперплоскостью в пространстве R называется множество точек x (которая удовлетворяет равенству

Пусть Х это замкнутое выпуклое множество. Точка не принадлежит множеству Х. Тогда существует гиперплоскость с нормальным так, что для любой точки будут выполняться неравенства.

Определение 1. Выпуклое замкнутое множество точек пространство имеющие конечное число угловых точек, называется выпуклым многогранником. Если оно ограничено и выпуклой многогранной областью если оно не ограничено (нет точек бесконечности).

Определение 2. Точка называется внутренней если существует окружность, в которой содержатся только из рассматриваемого множества.

Определение 3. Точка называется граничной точкой множества если в любой её окрестности содержатся точки, которые как принадлежат этому множеству, так и не принадлежат ему.

Определение 4. Точка множества называется угловой (крайней) если она не является внутренней ни для одного отрезка целиком принадлежащему этому множеству.

Рассмотрим систему линейных неравенств.

(1)

(2)

А · Х ≤ В (3)

1, 2, 3 – это тождественные формы записи системы неравенств.

Теорема:

Пусть Х множество допустимых векторов система тогда это множество выпукло и замкнуто.

Доказательство.

I. Докажем, что полупространство удовлетворяющее неравенству

, i является выпуклым.

т. (*)

(**)

– выражение для любой точки отрезка ⇒ множество т. Удовлетворяющих неравенству - выпуклое.

II. Так как вектора удовлетворяющие одновременно всем неравенствам системы образуют множество, которое является пересечением множеств для каждого неравенства, то по теореме (1) это множество выпукло.

III. Замкнутость данного множества вытекает из непрерывности рассматриваемых линейных функций.

Пусть. Выпуклой линейной комбинацией этих точек называется сумма следующего вида

Используя это определение можно переформулировать определение выпуклого множества следующим образом:

Множество называется выпуклым, если оно содержит выпуклую линейную комбинацию для любых двух своих точек.

Дата добавления: 2014-01-20