Условия идентифицируемости

Как и отдельные регрессионные уравнения, СОУ включают эндо- и экзогенные переменные.

Эндогенные переменные – это результирующие переменные, т.е. переменные, значения которых формируются внутри модели, носят эндогенный характер. Они зависят от экзогенных переменных.

Экзогенные переменные – это предопределенные переменные, т.е. переменные, которые определены извне для данной модели, признаки-факторы.

Обычно предполагается отсутствие корреляции между экзогенными переменными и случайными компонентами уравнений. В определенной мере деление переменных на экзо- и эндогенные носит субъективный характер, т.е. зависит от подхода исследователя, который строит модель.

Отметим, что в системах независимых уравнений каждая эндогенная переменная представлена в виде функции только от экзогенных переменных. Если эндогенные переменные зависят не только от экзогенных, но и друг от друга, то система уравнений – либо система рекурсивных уравнений, либо СОУ.

Например, в СОУ (6.4) переменная I_t выступает в качестве экзогенной, а переменные C_t и Y_t – эндогенные.

Алгоритм перехода от структурной формы к приведенной форме системы одновременных уравнений (СОУ)

Система (6.3) представляет собой структурную форму модели. При этом обычно в системе линейных уравнений все значения переменных заменяют их отклонениями от средних. В такой модели свободные члены всегда отсутствует (это показано, например, в [Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика: Учебник для вузов – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003. - 311 с., С. 20]). Коэффициенты регрессии в такой модели называют структурными коэффициентами. В общем виде структурную форму модели можно записать следующим образом:

y₁ = b₁₂y₂ + b₁₃y₃ + … + b_1ny_n + a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a_1mx_m

(6.5)

y₂ = b₂₁y₁ + b₂₃y₃ + … + b_2ny_n + a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a_2mx_m

_…

y_n = b_n1y₁ + b_n2y₂ + … + b_nn-1y_n-1 + a_n1x₁ + a_n2x₂ + … + a_nmx_m,

где m - число экзогенных переменных;

n - число эндогенных переменных;

a_ij, b_ij – структурные коэффициенты.

Рассмотрим простейший случай структурной модели СОУ с двумя эндогенными переменными и одной экзогенной переменной:

(6.6)

y₁ = b₁y₂ + a₁x

y₂ = b₂y₁ + a₂x,

где y₁ = y₁ - , y₂ = y₂ - , x = x - .

Выразим из первого уравнения y₂ = (y₁ - a₁x) / b₁ и подставим результат во второе уравнение:

(y₁ - a₁x) / b₁ = b₂y₁ + a₂x

(6.7)

y₁ - a₁x = b₁b₂y₁ + a₂b₁x

y₁ - b₁b₂y₁ = a₂b₁x + a₁x

y₁ (1 - b₁b₂) = x (a₂b₁ + a₁)

y₁ = x (a₂b₁ + a₁) / (1 - b₁b₂) = γ₁x,

где γ₁ = (a₂b₁ + a₁) / (1 - b₁b₂).

Таким образом, мы построили регрессионную зависимость результативного признака y₁ от фактора x y₁ = γ₁x, коэффициент которой γ₁ представляет собой нелинейную функцию от структурных коэффициентов модели (6.6). Аналогично можно вывести формулу, линейно выражающую y₂ через x, как y₂ = γ₂x, где γ₂ также будет представлять собой нелинейную функцию от структурных коэффициентов модели (6.6).

(6.8)

y₁ = γ₁x

y₂ = γ₂x

Система (6.8) представляет собой приведенную форму модели. Она состоит из независимых уравнений, в каждом из которых эндогенная переменная зависит только от экзогенных (в рассмотренном примере – от одной, а в общем случае может иметь место и множественная регрессия). Приведенная форма модели не устанавливает взаимосвязи результативных признаков друг с другом, но зато оценки ее параметров можно найти, применяя МНК.

В общем виде приведенную форму модели можно записать следующим образом:

y₁ = γ₁₁x₁ + γ₁₂x₂ + … + γ_1mx_m

(6.9)

y₂ = γ₂₁x₁ + γ₂₂x₂ + … + γ_2mx_m

_…

y_n = γ_n1x₁ + γ_n2x₂ + … + γ_nmx_m,

где γ_ij = f(a₁₁, a₁₂, … a_nm, b₁₂, b₁₃, …, b_nn-1).

От параметров приведенной модели, найденных МНК, переходят к структурным коэффициентам. Переход к таким оценкам составляет суть проблемы идентификации.

Дата добавления: 2014-01-11