Условие и процедура идентификации СОУ

Сколько структурных коэффициентов присутствует в структурной форме модели СОУ (6.5)? В каждое из n уравнений в правой части включены (n + m – 1) переменная. Следовательно, число коэффициентов будет n*(n + m – 1). При этом в приведенной форме модели (6.9) имеется n*m коэффициентов. Таким образом, в СОУ число структурных коэффициентов всегда больше, чем число коэффициентов приведенной формы модели.

После того, как коэффициенты приведенной формы модели найдены применением МНК, при переходе от них к структурным коэффициентам возникают проблемы идентифицируемости. В самом деле, имея n*m нелинейных соотношений, определяющих зависимость известных коэффициентов приведенной формы модели от n*(n + m – 1) неизвестных структурных коэффициентов, не всегда можно однозначно найти (идентифицировать) эти структурные коэффициенты.

Для решения этой проблемы необходимо уменьшить число неизвестных (структурных коэффициентов) либо увеличить число взаимосвязей между неизвестными. Например, можно приравнять некоторые структурные коэффициенты к нулю, т.е. принять предположение, что влияние соответствующих экдогенных переменных на эндогенную незначительно. Чтобы ввести дополнительное соотношение между структурными коэффициентами, можно, например, приравнять некоторые из них друг к другу.

По признаку идентифицируемости СОУ делят на три основных класса:

I. Идентифицируемые СОУ (точно идентифицируемые СОУ). В идентифицируемых моделях структурные коэффициенты можно определить однозначно. Для этого в системе уравнений, связывающей неизвестные структурные коэффициенты и коэффициенты приведенной модели, число уравнений должно равняться числу неизвестных.

II. Не идентифицируемые СОУ. В неидентифицируемых моделях структурные коэффициенты нельзя однозначно найти через коэффициенты приведенной модели, потому что в системе уравнений неизвестных больше, чем связывающих их уравнений. Структурная модель (6.5) в полном виде всегда неидентифицируема. Неидентифицируемость модели означает, что существует бесконечно много различных структурных коэффициентов, для которых приведенная форма модели будет одной и той же.

Преодолеть эту проблему без изменения структуры модели (уменьшения числа неизвестных параметров и/или увеличения числа соотношений) нельзя.

III. Сверхидентифицируемые СОУ. В сверхидентифицируемых моделях число уравнений, связывающих между собой неизвестные, больше, чем число неизвестных. Поэтому это может привести к неоднозначному результату решения системы: для одних и тех же структурных коэффициентов могут быть получены разные значения, если они по-разному были выражены через коэффициенты приведенной формы.

Подчеркнем, что истинные значения структурных коэффициентов, разумеется, единственные. Различаться могут только значения их оценок, полученные различными способами. Проблема сверхиндентифицируемости может быть решена путем увеличения количества наблюдений. В самом деле, поскольку оценки МНК обладают свойством состоятельности, с ростом числа наблюдений они все плотнее концентрируются вокруг неизвестных истинных значений параметров. Следовательно, чем больше наблюдений, тем ближе будут полученные разными способами оценки к истинным, а, следовательно, и друг к другу. При достаточно большом числе наблюдений разные оценки одного и того же параметра будут приблизительно или строго равны между собой.

Можно доказать (здесь доказательство не приводится), что для возможности идентификации параметров СОУ необходимо выполнение двух условий – порядкового и рангового.

Порядковое условие идентифицируемости по сути представляет собой счетное правило, которое применяют по отдельности к каждому уравнению структурной формы модели.

Поскольку СОУ в полном виде всегда неидентифицируема, будем считать, что значения некоторых параметров фиксированы (для определенности, равны нулю). На практике это означает, что соответствующие переменные исключены из некоторых уравнений: в самом деле, если структурный коэффициент при переменной нулевой, то в записи уравнения эта переменная отсутствует. Для каждого уравнения необходимо рассчитать число экзогенных переменных, которые исключены из этого уравнения; обозначим его Q_{искл.(экз.)}. Общее число эндогенных переменных, включенных в уравнение, обозначим Q_{вкл.(энд.)}. Необходимо сравнить Q_{искл.(экз.)} и (Q_{вкл.(энд.)} – 1).

Если Q_{искл.(экз.)} < (Q_{вкл.(энд.)} – 1), то уравнение неидентифицируемо.

Если Q_{искл.(экз.)} = (Q_{вкл.(энд.)} – 1), то уравнение точно идентифицируемо.

Если Q_{искл.(экз.)} > (Q_{вкл.(энд.)} – 1), то уравнение сверхидентифицируемо.

В идентифицируемой СОУ все уравнения должны быть идентифицируемы. Если хотя бы одно из них неидентифицируемо, то неидентифицируема вся система. Если в системе нет неидентифицируемых уравнений, но есть хотя бы одно сверхидентифицируемое, то и вся СОУ – сверхидентифицируема.

Рассмотрим это на примере системы двух одновременных уравнений с двумя эндогенными и тремя экзогенными переменными:

(6.10)

y₁ = b₁y₂ + a₁₁x₁+ a₁₂x₂ + a₁₃x₃

y₂ = b₂y₁ + a₂₁x₁+ a₂₂x₂ + a₂₃x₃,

В системе (6.10) для первого уравнения Q_{искл.(экз.)} = 0, а Q_{вкл.(энд.)} = 2. Поскольку 0 < 2 - 1, уравнение неидентифицируемо. Следовательно, СОУ неидентифицируема, и второе уравнение можно не проверять. Собственно, поскольку система (6.10) представляет собой СОУ в полном виде, она и не могла оказаться идентифицируемой.

Зафиксируем a₁₁ = 0, т.е. исключим переменную x₁ из первого уравнения:

(6.11)

y₁ = b₁y₂ + a₁₂x₂ + a₁₃x₃

y₂ = b₂y₁ + a₂₁x₁+ a₂₂x₂ + a₂₃x₃,

В системе (6.11) для первого уравнения Q_{искл.(экз.)} = 1, а Q_{вкл.(энд.)} = 2. Поскольку 1 = 2 - 1, уравнение идентифицируемо. Проверим второе уравнение. Для него Q_{искл.(экз.)} = 0, а Q_{вкл.(энд.)} = 2. Поскольку 0 < 2 - 1, уравнение неидентифицируемо. Эта СОУ тоже неидентифицируема.

Зафиксируем a₂₂ = 0, т.е. исключим переменную x₂ из второго уравнения:

(6.12)

y₁ = b₁y₂ + a₁₂x₂ + a₁₃x₃

y₂ = b₂y₁ + a₂₁x₁ + a₂₃x₃,

В системе (6.12) для первого уравнения Q_{искл.(экз.)} = 1, а Q_{вкл.(энд.)} = 2. Поскольку 1 = 2 - 1, уравнение идентифицируемо. Для второго уравнения тоже Q_{искл.(экз.)} = 1, а Q_{вкл.(энд.)} = 2. Поскольку 1 = 2 - 1, и это уравнение идентифицируемо. Эта СОУ идентифицируема.

Если зафиксировать a₂₃ = 0, т.е. исключить переменную x₃ из второго уравнения, получим:

(6.13)

y₁ = b₁y₂ + a₁₂x₂ + a₁₃x₃

y₂ = b₂y₁ + a₂₁x₁,

В системе (6.13) для первого уравнения Q_{искл.(экз.)} = 1, а Q_{вкл.(энд.)} = 2. Поскольку 1 = 2 - 1, уравнение идентифицируемо. Для второго уравнения тоже Q_{искл.(экз.)} = 2, а Q_{вкл.(энд.)} = 2. Поскольку 2 > 2 - 1, это уравнение сверхидентифицируемо. Следовательно, эта СОУ сверхидентифицируема.

Рассмотрим систему:

(6.14)

y₁ = b₁y₂ + a₁₁x₁

y₂ = b₂y₁ + a₂₁x₁+ a₂₂x₂ + a₂₃x₃,

В системе (6.14) для первого уравнения Q_{искл.(экз.)} = 2, а Q_{вкл.(энд.)} = 2. Поскольку 2 > 2 - 1, это уравнение сверхидентифицируемо. Для второго уравнения Q_{искл.(экз.)} = 0, а Q_{вкл.(энд.)} = 2. Поскольку 0 < 2 - 1, уравнение неидентифицируемо. Следовательно, эта СОУ неидентифицируема (хотя второе уравнение и является сверхидентифицируемым, но из-за неидентифицируемости первого неидентифицируема вся система).

Следует отметить, что порядковое условие идентифицируемости является необходимым, но не достаточным. Т.е. если СОУ идентифицируема, оно обязательно соблюдается. Но если оно соблюдается, это не обязательно означает, что СОУ идентифицируема. Поэтому, строго говоря, в рассмотренном примере нельзя было сразу же делать вывод об идентифицируемости систем, а можно было только говорить об идентифицируемости по этому условию (т.е. предположить идентифицируемость). Достоверными по этому условию могут быть только выводы о неидентифицируемости.

Ранговое условие идентифицируемости является необходимым и достаточным для того, чтобы СОУ была идентифицируема (т.е. она идентифицируема тогда и только тогда, когда это условие выполняется). Суть этого условия заключается в том, что для каждого уравнения СОУ необходимо рассчитать ранг[2] матрицы, составленной из коэффициентов в других уравнениях при исключенных из него экзогенных переменных. Обозначим его r(A_{искл.(экз.)}). Уравнение будет идентифицируемо, если r(A_{искл.(экз.)}) ≥ (Q_{вкл.(энд.)} – 1). В основе этого условия лежит идея о том, что система уравнений, из которой осуществляется идентификация, преобразуется к линейному виду [Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс. Учебное пособие. 2-е изд., испр. – М.: Дело, 1998. – 248 с. C. 154-158.], и при этом с числом переменных надо сравнивать не просто число уравнений в системе, а число линейно независимых уравнений.

СОУ будет идентифицируема тогда и только тогда, когда ранговое условие идентифицируемости выполняется для всех ее уравнений.

Дата добавления: 2014-01-11