Гладкие кривые

Пример

Пример-метафора

Можно легко представить, что значения параметра t— это отсчеты времени, в течение которого происходит перемещение определенной частицы вдоль произвольной кривой, например окружности. Параметрическая функция q(t) позволит получать пары координат {х, у}, по которым перемещается частица в различные моменты (значения) времени t. Хотя, в общем случае, не обязательно параметр t связывать со временем.

Вторым важным качеством параметрических кривых является то, что они имеют более разнообразные формы, чем это позволяют явные уравнения.

Графики синусоиды и косинусоиды в явном виде не позволяют замкнуть линию, а две параметрические функции

x(t) = cos t;

y(t) = sin t

создают окружность, если t "пробегает" значения между 0 и 360 градусов.

Справка

Параметрическое представление функции — это выражение функциональной зависимости между несколькими переменными введением вспомогательных переменных, которые принято называть "параметрами". Если мы располагаем двумя переменными, например, по оси х и по оси у, то зависимость между ними можно рассматривать как уравнение плоской кривой. Например, координаты х и у точек этой кривой определяются каким-то параметром, скажем, величиной t, которую определяют как некоторый диапазон. Особенно важно такое представление для пространственных кривых, поскольку обеспечивает более легкий способ построения графиков.

Применение параметрических функций позволяет применять более сложные функции, а не только линейную аппроксимацию, поскольку одним из основных недостатков аппроксимации прямыми является, как уже указывалось, наличие угловых изгибов, которые даже при относительно невысоком увеличении не создают впечатления гладкости. Поэтому неизбежной заменой прямолинейным сегментам могут быть только кривые, которые способны обеспечить требуемую гладкость (забегая вперед, можно указать, что речь идет о кривых Безье и NURBS-кривых). Но сначала необходимо более точно определить понятие гладкости.

Все умные места кривые.

Мераб Мамардашвили

Одной из самых важных причин выбора в качестве средств векторной графики кривых Безье и NURBS-кривых является управляемая гладкость. Гладкость означает, что при моделировании на кривой не образуется петель и резких преломлений (тем более разрывов). Но при этом, не исключена возможность создания как гладкого сопряжения, так и изгибов, например острых углов.

Прекрасным примером такого сочетания гладких кривых и острых преломлений являются профили авиакрыла. Обсудим гладкость кривых.

Дата добавления: 2014-01-20